南康中学2015～2016学年度第二学期高三第四次大考

数学（理）试卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1) 已知集合A={x|y=
），B= {x| y=ln（1-x）}，则A
B=（ ）

(A) [0,1] (B) [0,1) (C) (一∞,1] (D) (一∞,1)

(2) 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（ ）

(A) -2 (B)2 (C)1一i (D)1+i

(3) 已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x3+sinx的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（ ）

(A)p
q (B) p
q (C)( p)
( q) (D)p
(q)

(4) 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据 (x1，y1)，(x2，y2)，(X3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)．根据收集到的数据可知x1+x2 +x3 +x4 +x5 =150， 由最小二乘法求得回归直线方程为y= 0.67x+ 54.9，则y1+y2+y3+y4+y5的值为（ ）

(A)75 (B)155.4 (C)375 (D)466.2

(5) (x2一x+1)3展开式中x项的系数为（ ）

(A) -3 (B) -1 (C)1 (D)3

(6) 从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为（ ）

(A)

(B)

(C)

(D)

(7) 已知数列{an}满足
an＋1＝
an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则
(a5＋a7＋a9)的值

是(　 　)

(A)－5 (B)－ (C)5 (D) 

(8) 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 (　　)

(A)72 (B)96 (C)108 (D)144

(9) 由曲线
与直线
围成的封闭图形的面积为（ ）

（A）24 （B）36 （C）42 （D）48

(10) 已知椭圆
（
>
>0）与双曲线
有公共的焦点，
的一条渐近线与以
的长轴为直径的圆相交于
两点，若
恰好将线段
三等分，则（ ）

（A）
（B）

13 （C）
（D）
2

(11) 已知点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0

(A)[一
，0） (B)（一
，0）

(C)（一
，+∞） (D)（一∞，一
）
（0,+∞)

(12) 对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　)

(A) (－∞，－2]∪ (B) (－∞，－2]∪

(C)∪ (D)∪

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

(13)已知向量
=(1，
)，向量
的夹角是
，
=2，则
等于 。

(14) 数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+Sn-1=2n-l (n
2)，且S2 =3，则a1+a3的值为 。

(15)正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为
，此时四面体

ABCD外接球表面积为__________．

(16)抛物线
的焦点为
，其准线与双曲线
相交于
两点，若
为等边三角形，则
.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17)（本小题满分12分）

已知函数f(x)=（
sin
x+ cos
x）cos
x一
（x
R，
>0）．若f(x)的最小正周期为4
．

( I)求函数f(x)的单调递增区间；

(II)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围．

(18)（本小题满分12分）李先生家住
小区，他工作在
科技园区，从家开车到公司上班路上有
、
两条路线（如图），
路线上有
、
、
三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
；
路线上有
、
两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
，
.

（Ⅰ）若走
路线，求最多遇到1次红灯的概率；

（Ⅱ）若走
路线，求遇到红灯次数
的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.

(19)（本小题满分12分）

如图，四棱锥S- ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD ⊥ DC,，AB=AD＝1

DC=SD=2， E为棱SB上的一点，且SE=2EB．

(I)证明：DE⊥平面SBC；

(II)证明：求二面角A- DE -C的大小。

(20)（本题满分12分）

设椭圆
：
，其中长轴长是短轴长的
倍，过焦点且垂直于
轴的直线被椭圆截得的弦长为
。

（I）求椭圆
的方程；

（II）点
是椭圆
上动点，且横坐标大于
，点
，

在
轴上，
内切于
，

试判断点
的横坐标为何值时
的面积
最小。

(21)（本题满分12分）

已知函数错误！未找到引用源。为自然对数的底数).

（I）若错误！未找到引用源。，求函数错误！未找到引用源。的单调区间；

（II）若错误！未找到引用源。，且方程错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。内有解，求实数错误！未找到引用源。的取值范围.

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图， 圆M与圆N交于A， B两点， 以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E， 延长CB交圆N于点F．已知BC=5， DB=10.

（I）求AB的长；

（II）求
。

(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中以
为极点，
轴正半轴为极轴建立坐标系.圆
，直线
的极坐标方程分别为

（I）

（II）

(24)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设函数f(x)=
的最大值为M.

(I)求实数M的值；

(II)求关于x的不等式|x一
|+| x+2
|≤M的解集。

南康中学2015～2016学年度第二学期高三第四次大考

数学（理）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

答案：（1）（C） （2）（B） （3）（B） （4）（C） （5）（A） （6） （B）

（7）（A） （8）（C） （9）（B） （10）（C） （11）（D） （12）（B）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

答案：（13）
（14）
（15）
（16）6

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17)（本小题满分12分）

解：（I）

．
，
．由
，

得
．

∴
的单调递增区间为
------------------（6分）

（Ⅱ）由正弦定理得，
， ∴
．

∵

，∴
．

或：
，
，∴
．

又
，

．
．------------------（12分）

(18)解：（Ⅰ）设“走
路线最多遇到1次红灯”为事件
， ……………1分

则
，　　　　　 ……………3分

所以走
路线，最多遇到1次红灯的概率为
.　　　 　 ……………4分

（Ⅱ）依题意，
的可能取值为0，1，2.　　　 　　 　……………5分

. ……8分

随机变量
的分布列为：

0

1

2













所以
.　　　　　　 ……………10分

（Ⅲ）设选择
路线遇到红灯次数为
，随机变量
服从二项分布
，所以
. 因为
，所以选择
路线上班最好. ……………12分

(19)（本小题满分12分）

解：分别以
，
，
所在直线为x轴，
轴，z建立空间直角坐标系（如图），

则
，

（Ⅰ）∵SE=2EB，

∴

又

∴

∴

又
∴DE
平面SBC ----------（6分）

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，DE⊥平面SBC，

∵
平面SBC，∴

当
时，知
，
， 取
中点
，则
，

故
，由此得FA⊥DE

∴向量
与
的夹角等于二面角
的平面角

又
，

∴二面角
的大小为
.------------------（12分）

(20) 解: （I）由已知
，解得：
，故所求椭圆方程为：

…………………………3分

（II）设


，
.不妨设
，则直线
的

方程为
，即
，又圆心
到

直线
的距离为
，即
，
，化简得

，…………………………5分

同理
，所以
是方程

的两个根，所以
，
，

则
……………