2016届高三年级四月份联考（二）

数学（理）试卷

命题人：南昌二中 周启新

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，
，
，则集合
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
是纯虚数，则
＝（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知函数
为定义在
上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）

①
②
③
④

A．①③ B． ②③ C．①④ D．②④

4．等比数列
中，
，
，则数列
的前
项和等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5．如图给出的是计算
的值的一个框图，

其中判断框内应填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知抛物线
，
，
是抛物线
上的两点，且线段
的中

点坐标为
，则
所在直线的方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行

了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方

程＝0.72x＋58.4.

零件数
（个）

10

20

30

40

50



加工时间

71

76

79



89



表中有一个数据模糊不清，经推断，该数据的准确值为（ ）

A. 85 B. 86 C. 87 D. 88

8．
的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．圆柱的底面半径为
，其全面积是侧面积的
倍。
是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点
，则使
的概率为( )

A．
B．
C．
D．

10．下列四个命题中，正确的有( )

①两个变量间的相关系数
越小，说明两变量间的线性相关程度越低；

②命题“
，使得
”的否定是:“对
， 均有
” ；

③命题“
为真”是命题“
为真”的必要不充分条件；

④若函数
在
有极值
，则
或
.

A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D．3个

11．过双曲线
的右焦点
作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A．
B．

C．
D．

12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球

的表面积为( )

A.
B．
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选做题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

13．设向量
与
的夹角为
，且
，则
__________．

14．实数
，
满足不等式组
的取值范围是_________.

15．己知函数
的图像上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数
的取值范围为 ．

16．在数列
中，
，
.记
是数列
的前
项和，则
.

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．

17．（本小题满分12分）

如图,
是直角
斜边
上一点,
．

（Ⅰ）若
,求角
的大小；

（Ⅱ）若
,且
,求
的长．

18．（本小题满分12分）

某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：

男



女









7

15

5

7

8

9

9









9

8

16

1

8

4

5

2

9



8

3

5

6

17

0

2

7

5

4





6

1

2

4

18

0

1

















1

19















男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．

女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．

（I）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；

（II）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用
表示其中男生的人数，写出
的分布列，并求
的数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图所示，在四棱柱
中，底面
是梯形，
∥
，侧面
为菱形，
。

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，
，

点
在平面
上的射影恰为线段
的中点，

求平面
与平面
所成锐二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
的离心率为
，焦距为
，抛物线
：
的焦点
是椭圆
的顶点．[来源:Z+xx+k.Com]

（Ⅰ）求
与
的标准方程；

（Ⅱ）
上不同于
的两点
，
满足
，且直线
与
相切，求
的

面积．

21．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）讨论
在
上的单调性；

（Ⅱ）若对任意的正整数
都有
成立，求
的取值范围．

四、请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙
的半径为
，线段
与⊙
相交于点
、
，
，
，
与⊙
相交于点
.

（Ⅰ） 求
长；

（Ⅱ）当
时，求证：
.

23、（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为

．

（Ⅰ）求
与
交点的极坐标；

（Ⅱ）
是
上的任意一点，过
点作与
的夹角为
的直线交
于点
．求
的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

　　已知
使得关于
的不等式
成立．

　　(I)求满足条件的实数
的集合
；

(Ⅱ)若
，
，且对于
，不等式
恒成立，试求
的最小值.

2016届高三年级四月份联考（二）数学（理）试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. B 7. A 8. B 9. C 10. A 11. D 12.D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

13．
14．
15．
16． 2016

三、解答题

17.解： （Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有
.

因为
,所以
.

又
所以
.

于是
,所以
. ……………………6分

（Ⅱ）设
,则
,
,
.

于是
,
,

在
中,由余弦定理,得
,

即
,得
. 故
………12分

18.解：（I）五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为
cm．………3分

（II）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，
的取值为0,1,2. ………4分

则
，
，
，

(每项2分)……………………………10分

因此，
的分布列如下：

0

1

2



P









∴
（人）．（未化简不扣分）……12分

（或是，因为
服从超几何分布，所以
（人）

19．解：（Ⅰ）连接
、
、
，设
交
于

点
，连
，如图19—1所示。

由
，
，可得
≌
，

所以
，

由于
是线段
的中点，所以
，

又根据菱形的性质知
，所以