南昌市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷（02）

高三数学（理）

第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合
，
，则
中的元素个数为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

2、若复数
满足
，则
的实部为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

3、《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）

(A)30尺 (B)90尺 (C)150尺 (D)180尺

4、已知抛物线
的焦点为
为
上一点，若

点
到
轴的距离等于等于3，则点
的坐标为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

5、执行如图所示的程序框图，如果输入的
，则输出的
（ ）

(A)
(B)

(C)
(D)

6、现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)

的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，

则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

7、
的展开式中
的系数等于（ ）

(A)-48 (B)48 (C)234 (D)432

8、设
满足
若
的最小值为
，

则实数
的取值范围是（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

9、某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的

直观图是矩形
如图（2），其中
，

，则该几何体的侧面积为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

10、已知函数
，当
时，
，则实数
的取值范围为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

11、已知
在球
的球面上，
，
，直线
与截面
所成的角为
，则球
的表面积为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

12、已知
的导函数为
.若
，且当
时，
，则不等式
的解集是（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13、已知
为第四象限角，
，则
.

14、对于同一平面的单位向量
，若
与
的夹角为
，则
的最大值

是 .

15、已知A，B为双曲线
右支上两点，O为坐标原点，若
是边长

为
的等边三角形，且
，则双曲线
的渐近线方程为 .

16、已知数列
的前
项和为
且
成等比数列，

成等差数列，则
等于 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.

17、（本小题满分12分）

如图，平面四边形
中，
，
，

，
，
，求

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
的面积
.

18、（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间
，
，
内的频率之比为
．

（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间

内的频率；

（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的

这种产品中随机抽取3件，记这3件产

品中质量指标值位于区间
内的产

品件数为
，求
的分布列与数学期望．

19、（本小题满分12分）

如图，四棱柱
的底面
是菱形，
，
底面
，
．

（Ⅰ）证明：平面
平面
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值．

20、（本小题满分12分）

以椭圆
的离心率为
，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于
.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过原点且斜率不为0的直线
与椭圆C交于P,Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线AP,AQ分别与y轴交于点M,N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过
轴上的定点，请说明理由.

21、（本小题满分12分）

已知函数
.（常数
且
）.

（Ⅰ）证明：当
时，函数
有且只有一个极值点；

（Ⅱ）若函数
存在两个极值点
，证明：
且
.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
是⊙
的直径，点
是⊙
上一点，过点
作⊙
的切线，交
的延长线于点
，过点
作
的垂线，交
的延长线于点
.

（Ⅰ）求证：
为等腰三角形；

（Ⅱ）若
，求⊙
的面积.

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
(其中
为参数)，以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）若
为曲线
，
的公共点，求直线
的斜率；

（Ⅱ）若
分别为曲线
，
上的动点，当
取最大值时，求
的面积.

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若存在
满足
，求
的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1．B 2．A 3．B 4．B 5．B 6．C

7．B 8．A 9．C 10．Ｄ 11．Ｄ 12．B

第12题 令
，则由
，可得
，故
为偶函数，又当
时，
即
，所以
在
上为增函数.不等式
可化为
，所以有
，解得
.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．
； 14．
； 15．
； 16.
.

第16题 依题意，得
因为
，所以
，即
，故数列
等差数列；又由
，
，可得
.所以数列
等差数列是首项为2，公差为1的等差数列.所以
即
，故
，故
，
，故
，答案为B.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）在
中，由正弦定理得：

， …………………2分

在
中，由余弦定理得：

…………………4分

所以
…………………6分

（Ⅱ）因为
，
，所以

因为
…………………8分

所以

…………………12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）设区间
内的频率为
，

则区间
，
内的频率分别为
和
．…………………………1分

依题意得
，………………3分

解得
．

所以区间
内的频率为
．………………………………………………4分

（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，

所以
服从二项分布
，其中
．

由（Ⅰ）得，区间
内的频率为
，

将频率视为概率得
．………………………………………………………5分

因为
的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分

且
，
，

，
．

所以
的分布列为：

0

1

2

3





0.064

0.288

0.432

0.216





所以
的数学期望为
．

（或直接根据二项分布的均值公式得到
）……………12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：因为
平面