宜春市四校2016届高三高考押题卷

数学（理）试题







一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的)

1. 已知集合
，函数
的定义域为
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 复数
是纯虚数，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 若
和
是计算机在区间
上产生的均匀随机数，则一元二次不等式
的解集不是
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知向量
满足
，则
在
方向上的投影为（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 已知公差不为0的等差数列
满足
成等比数列，
为数列
的前
项和，则
的值为（ ）

A.
B.
C.3 D.2

6．设

为奇函数，该函数的部分图象如图所示，
是边长为2的等边三角形，则
的值为（ ）

A．－
B．－
　　C．
D．－

7.给出下列4个命题，其中正确命题的个数是（ ）

①计算：
除以100的余数是1；

②命题“
>0，
”的否定是“
”；

③
（
）在其定义域内是单调函数而且又是奇函数；

④命题
：“
”是命题
：“对任意的
，不等式
恒成立”的充分不必要条件.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8. 某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共8节课，上午5节、下午3节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（ ）

A．474种 B．312种 C．462种 D．300种

9.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：
），可得这个几何体的体积是（ ）.

A．

B．

C．

D．

10．已知
的展开式中第4项的系数与含
的系数分 别为
与
，则
展开式所有项系数之和为（ ）

A．
　　 　　 B．1　　　　

C．32　　　 　 D．64

11. 过双曲线
的右焦点
作直线
的垂线,垂足为
,交双曲线的左支于
点,若
,则该双曲线的离心率为（ ）

A.
B.2 C.
D.

12.已知函数
满足
,
,且当
时
，关于
的不等式
在
上有且只有
个整数解，则实数
的取值范围是（ ）

B．
C．
D．

二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知函数
为偶函数，则实数
___________.

14. 数式
中省略号“…”代表无限重复，但原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式
,则
，则
，取正值得
，用类似方法可得
__________.

15. 已知圆
，平面区域
， 若圆心
，且圆
与
轴相切，则
的最大值为__________.

16. 给定集合

中，定义

中所有不同值的个数为集合
两元素和的容量，用
表示.若数列
是公差不为
的等差数列，设集合
，则
.

三、解答题:（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）设
的内角
所对的边分别为
，

已知
，
.

（Ⅰ）求角
； （Ⅱ）若
，求
的面积.

18.（本小题满分12分）某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛. 随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在75分以上(包括75分)的学生定义为甲组，成绩在75分以下(不包括75分)定义为乙组.

(Ⅰ) 在这30名学生中，甲组学生中有男生7人，乙组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；

(Ⅱ) 记甲组学生的成绩分别为
，执行如图所示的程序框图，求输出的S的值；

(Ⅲ) 竞赛中，学生小张、小李同时回答两道题，小张答对每道题的概率均为
，小李答对每道题的概率均为
，两人回答每道题正确与否相互独立．记小张答对题的道数为
，小李答对题的道数为
，
，写出
的概率分布列，并求出
的数学期望．





















5

7

7

8

9

9

9









6

1

2

4

5

8

8

9

9





7

0

2

3

4

5

5

6

6

8



8

0

1

1

2

4

7









9

1





















附：
；其中

独立性检验临界表：

0.100

0.050

0.010





2.706

3.841

6.635





19.（本小题满分12分）如图
，平行四边形
中，
，
，
是
的中点.将
沿
折起，如图
,使面
面
，
是
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
是棱
上的动点，当
为何值时，二面角
的大小为
.

20.（本小题满分12分）设椭圆C：
的离心率
，动点
在椭圆C上， 点
到椭圆C的两个焦点的距离之和是4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆
的方程为
，椭圆
的方程为
，则称椭圆
是椭圆
的
倍相似椭圆．已知椭圆
是椭圆C的3倍相似椭圆．若过椭圆C上动点
的切线
交椭圆
于A,B两点，O为坐标原点，试证明当切线
变化时
并研究
面积的变化情况．

21.(本小题满分12分)已知函数
.

(Ⅰ)记
，判断
在区间
内零点个数并说明理由；

(Ⅱ)记
在
内的零点为
，
，若
在
有两个不等实根
，判断
与
的大小,并给出对应的证明.

请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．

22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲

圆
是以
为直径的圆，延长
与
交于
点.

（Ⅰ）求证：
是圆
的切线；

（Ⅱ）
，求
的长.

23. (本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为
轴正方向建立直角坐标系，点
，直线
与曲线
交于两点．

(Ⅰ）写出直线
的极坐标方程与曲线
的普通方程；

（Ⅱ）求线段
长度之积
的值．

24.（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲.

已知实数
，函数
=
的最大值为3.

（I） 求
的值；

（Ⅱ）设函数
=
，若对于
均有

，求
的取值范围.

2016年宜春四校高考数学(理)押题卷参考答案



题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

A

D

D

D

B

B

C

A

C

C



13.-1; 14. 2; 15.37; 16.
.

17. 解：（Ⅰ）



……………2分

………………………………5分

，
…………………………………………………………6分

（Ⅱ）由
，
，
，得
…………………………7分

由
得
，从而
， ………………………………………9分

故
…………………10分

所以
的面积为
. ……………………………12分

18. 解：(Ⅰ) 作出
列联表：

甲组

乙组

合计



男生

7

6

13



女生

5

12

17



合计

12

18

30



由列联表数据代入公式得
，因为1.833<2.706，故没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关. …………… 4分

(Ⅱ)

……………7分

(Ⅲ)
的取值为0，1，2.

……………10分

所以
的分布列为：

0

1

2















……………11分

数学期望
……………12分

19. 解：（1）连接
，因