2015—2016学年第二学期赣州市十三县（市）期中联考

高三文科数学试卷

命题人： 审题人：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．复数
= （ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
, 则实数
等于 （ ）

A．
B．
C．
或
D．0

4.等差数列
的前n项和为
，若
，则
的值是 （ ）

A．130 B．260 C．20 D．150

5．装里装有3个红球和1个白球，这些球除了颜色不同外，形状、大小完全相同。从中任意取出2个球，则取出的2个球恰好是1个红球、1个白球的概率等于 （ ）

A． B． C． D．

6.如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长

为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的

表面积为 （ ）

A.
B.
C.
D.

7．已知变量
满足约束条件
,则目标函数
的最大值为 ( )

A．
B．0 C．1 D．3

8. 已知函数
的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于
，若将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，则
是减函数的区间为 （ ）

A.(–
，0) B.(–
，
) C.(0，
) D.(
，
)

9.执行如图所示的程序框图，如果输入
，则输出
的值为 （ ）

A.6 B.8 C.10 D.12

10.函数
的图象（部分）大致是 （ ）

A B C D

11.已知抛物线C：
的焦点为F，准线为
，P是
上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=3FQ，则|QF|= （ ）

A．
B.
C.3 D.2

12.设
，若函数
在区间(0，4)上有三个零点，则实数
的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知双曲线
=1（
的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程

为 .

14.已知函数
，若
，则

15．若数列
满足
且
，
为数列
的前n项和，

则

＝ .

16.已知
中，三个内角
的对边分别为
，若
的面积为
，

且
，则
.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知等比数列
的公比
，前3项和

（1）求数列
的通项公式；

（2）若函数
在
处取得最大值
，求函数
在区间
上的值域.

18. （本小题满分12分）

某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.

（Ⅰ）请先求出频率分布表中的a、b，再完成下列频率分布直方图；

（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受考官A进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

19.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
，

分别是
，
的中点.

.u.c（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

20．（本小题满分12分）

如图，已知圆
：
，点
，
是圆
上任意一点．线段
的垂直平分线和半径
相交于
．

（1）求动点
的轨迹
的方程；

（2）已知
是轨迹
的三个动点，点
在一象限，
与
关于原点对称，且
，问△
的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线
的方程；若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若不等式
在
有解，求实数
的取值菹围；

（Ⅲ）证明：函数
和
在公共定义域内，
.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，△
内接于⊙
，直线
与⊙
相切于点
，交
的延长线于点
，过点
作
交
的延长线于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若直线
与⊙
相切于点
，且
，
，

求线段
的长．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，
.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）在曲线
上求一点
，使它到直线
：
（
为参数，
）的距离最短，并求出点
的直角坐标.

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数
．

(1)当
时，解不等式
；

(2)若对于
时，
恒成立，求
的取值范围．

2015—2016学年第二学期赣州市十三县（市）期中联考

高三文科数学答案

一、选择题：DBCB AACD CCAD

二、填空题：13、
14、-3 15、2017 16、

三、解答题：

17.解：（1）由
………………2分

……………………6分

（2）

………………………9分

…………………………12分

18. 解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为
人, 第3组的频率为
…2分

频率分布直方图如右图: ………………………4分

（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样

在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:

第3组:
人,

第4组:
人,

第5组:
人,

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人…… 8分

（Ⅲ）设第3组的3位同学为
,第4组的2位同学为
,第5组的1位同学为
,从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:
，
，
，
，
，









… 10分

其中第4组的2位同学为
至少有一位同学入选的有:








9中可能,

所以其中第4组的2位同学为
至少有一位同学入选的概率为
. ……… 12分

19.解：（Ⅰ）证明：在三棱柱
中，
底面
，所以
.

又因为
，
，

所以
平面
， …………………………………4分

又
平面
，

所以平面
平面
.………………………………5分

（Ⅱ）证明：取
的中点
，连接
，
.

因为
，
，
分别是
，
，
的中点，

所以
，且
，
.

因为
，且
，所以
，且
，

所以四边形
为平行四边形，所以
. ………………………9分

又因为
平面
，
平面
，所以
平面
. …………10分

（Ⅲ）因为
，
，
，所以
.

所以三棱锥
的体积
. ……………12分

20．解：（1）
在线段
的垂直平分线上，所以
；

得
，

又
，得
的轨迹是以
为焦点，长轴长为4的椭圆.

. ……………………………………4分

（2）由点
在一象限，
与
关于原点对称，设

，
在
的垂直平分线上，
.

，

， 同理可得
，……………6分

……………………8分

，当且仅当
时取等号，

所以
， …………………………………11分

当直线