2016届江西省红色七校联考文科数学试题

命题学校：分宜中学 遂川中学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分。考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集
,集合
，集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知复数

为虚数单位
，则
的共轭复数是

A.
B.
C.
D.

3.已知各项均为正数的等比数列
中，
成等差数列，则
=（ ）

A.27 B.3 C.-1或3 D.1或27

4.已知平面向量
,
,
,则
的值为( )

A.
B.
C.2 D.1

5.已知
的取值如下表:若y与x线性相关，且
，则
=（ ）

x

0

1

3

4



y

2.2

3.3

4.8

5.7



A.2.2 B.2.6 C.2.8 D.3.0

6.已知命题

使
；命题
，下列是真命题的是 ( )

A.
B.

C.
D.

7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是( )

A. 2016?????????B. 2

C.
???????????D.

8.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个 四棱锥的体积为（ ）

A 1 B 2 C 3 D 4

9.已知函数
的最小正周期为
, 若将其图像向右平移
个单位后得到的图像关于原点对称,则函数
的图像( )

A.关于直线
对称 B.关于直线
对称

C.关于点
对称 D.关于点
对称

10.已知变量
满足以下条件
,
,若
的最大值为3,

则实数
的值为( )

A.2或5 B.-4或2 C.2 D.5

11.定义在R上的函数

(其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知椭圆C:
的左右焦点为
，若椭圆C上恰好有6个不B 同的点
，使得
为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

A．
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13.点
，则
的概率___________．

14.设数列
满足
，点
对任意的
，都有向量

，则数列
的前
项和
.

15.在半径为
的球面上有
三点，如果
，
，则球心
到平面
的距离为___________．

16.已知函数
有两个极值点
，若
，

则关于
的方程
的不同实根个数为

三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在
中，角
所对的边分别为
，函数
在
处取得最小值.

（1）求角A的大小.

（2）若
且
，求
的面积.

18.某校在一次英语竞赛初赛考试成绩中随机抽取了40名学生的笔试成绩,按成绩共分成五组:第1组
,第2组
,第3组
第4组
第5组
,得到频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在85分以上(含85分)的学生为“优秀”,成绩小于85分的学生为“良好”.且只有成绩为“优秀”的学生才能获得复试资格。

求出第4组的频率；根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；

如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

19.如图在直角梯形
中，
，，且
，现以
为一边向梯形外作矩形
，然后沿边
将矩形
翻折，使平面
与平面
垂直。

求证：
;

若点
到平面
的距离为
，求三棱锥
的体积。

20.如图，椭圆
的离心率为
，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点
为椭圆外一点，不过原点
的直线
与
相交于
两点，且线段
被直线
平分

求椭圆
的标准方程

求
面积最大值时的直线
的方程。

21.已知函数

（1）当
时，讨论
的单调性

（2）设
．当
时，若对任意
,存在
,使
,求实数
取值范围．

四、选做题：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
切
于点
，直线AO交
于
，
两点，
，垂足为
．

（1）证明：
；

（2）若
，
，求
的直径．

23．（ 10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数）．在以原点
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标中，圆
的方程为
．

(1)写出直线
的普通方程和圆
的直角坐标方程；

(2)若点
坐标为
，圆
与直线
交于
，
两点，求
的值．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于
的不等式
的解集为
．

(1)求实数
，
的值；

(2)求
的最大值．

2016届江西省红色六校联考文科数学参考答案

一、选择题

A A A C D D B B B B A D

填空题 13.
， 14.
15. 6 16. 3

-----------------6分

(2)由正弦定理
得
……….8分

即
由余弦定理

--------------------------12分

18．（1）因为其它组的频率为
，

所以第4组的频率为0.2，……..3分

设样本的中位数为
，则
，

解得
,所以样本中位数的估计值为
。…… 6分

（2）依题意良好的人数为
人，优秀的人数为
人

优秀与良好的人数比为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良

好2人 ………………8分

记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件M

将考试成绩优秀的三名学生记为A,B，C， 考试成绩良好的两名学生记为a,b

从这5人中任选2人的所有基本事件包括：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb,ab

共10个基本事件 ……10分

事件M含的情况是：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb，共9个

所以
-------------12分

（1）在正方形ADEF中，ED⊥AD．?又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，?所以ED⊥平面ABCD．?所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得
．?在△BCD中，
?所以
．?所以BC⊥BD．DE∩BD=D?所以BC⊥平面BDE．（6分

（2）

20.解：（Ⅰ）由题：
；左焦点（-c，0）到椭圆上点的最远距离为3，即使a+c=3,可解得：
∴所求椭圆C的方程为：
。-------------------4分

（Ⅱ）易得直线OP的方程：y＝
x，设A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）其中y0＝
x0 ∵A，B在椭圆上，∴
------------------6分

设直线AB的方程为l：y＝
（m≠0），代入椭圆：

由上又有：
-----------------8分

∴|AB|＝
∵点P（2，1）到直线l的距离为：