2016届高三●江西师大附中、鹰潭一中联考试卷

数学（文）

师大附中 张园和 鹰潭一中 熊冬辉

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．复数
,则的虚部为( )

A．
B．
C．
D．

2．设集合
，
，则
中元素的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

3．设
为等差数列，公差d=2，
为其前n项和，若
，则
( )

A．18 B．20 C．22 D．24

4． 若
，
，且
，则向量
的夹角为( )

A. 45° B. 60° C. 120° D.135°

5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表所示,根据表中数据可得回归方程
中的b=10.6. 据此模型预报广告费用为10万元时销售额为( )

广告费用x（万元）

4

2

3

5



销售额y（万元）

49

26

39

58



A．112.1万元 B．113.1万元

C．111.9万元 D．113.9万元

6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为(　　)

A．
B．
C．
D．

7．已知
＝
，则tan
＝( )

A．
B．
C．
D．

8．已知
,“函数
有零点”是“函数
在
上为减函数”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9．已知实数x，y满足不等式组
,若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞,－1) B．(0,1) C．(1,＋∞) D．[1,＋∞)

10．已知抛物线
的顶点在坐标原点，准线方程为
，直线
与抛物线
相交于
两点．若线段
的中点为
，则直线l的方程为( )

A．
B．
C．
D．

11．在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且
，
，
，则
等于( )

A．2 B．4 C．8 D．16

12．若函数
满足
，当x∈[0,1]时,
.若在区间(-1,1]内,

有两个零点,则实数m的取值范围是( )

A．0

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知函数
，则
．

14．执行下面的程序框图，若
，则输出的
．

15．过双曲线
的左焦点
，作圆
的切线交双曲线右支于点P，切点为T，
的中点为M，则
_____________．

16．若对
，
，使
成立，则
的取值范围是_____________．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）已知
，其中
，
，
．

(1)求
的单调递增区间；

(2)在
中，角
所对的边分别为
，
，
，且向量

与
共线，求边长
和
的值．

18．（本小题满分12分）某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤.

(1)某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3项的概率；

(2)如图，某次模拟演练中，

教练要求学员甲倒车并转向90°，

在汽车边缘不压射线AC与射

线BD的前提下，将汽车驶入

指定的停车位. 根据经验,学员

甲转向90°后可使车尾边缘

完全落在线段CD,且位于CD

内各处的机会相等.若CA=BD

=0.3m, AB=2.4m. 汽车宽度为

1.8m, 求学员甲能按教练要求

完成任务的概率。

19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱
中，
，
，
是棱
上的点,
.

(1)证明：平面
；

(2)平面
分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为
，右顶点
。

(1)求椭圆C的方程；

(2)在
轴上是否存在定点
，使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，且
恒成立?若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由。

（本小题满分12分）已知函数
（
为常数），其图象是曲线
．

(1)设函数
的导函数为
，若存在三个实数
，使得
与
同时成立，求实数
的取值范围；

(2)已知点
为曲线
上的动点，在点
处作曲线
的切线
与曲线
交于另一点
，在点
处作曲线
的切线
，设切线
的斜率分别为
．问：是否存在常数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.解答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，
为半径等于
的圆
的切线，
为切点,
交圆
于
两点，
，
的角平分线与
交于点
．

(1)求证
；

(2)求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．

已知直线
（
为参数），曲线
（
为参数）．

(1)设
与
相交于
两点，求
；

(2)若把曲线
上各点的横坐标压缩为原来的
倍，纵坐标压缩为原来的
倍，得到曲线
，设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

(1)求不等式
；

(2)若函数
的最小值为
，且
，求
的取值范围．

2016届高三●江西师大附中、鹰潭一中联考试卷

数学（文）

师大附中 张园和 鹰潭一中 熊冬辉

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．复数
,则
的虚部为( )

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】
，故其虚部为1。

2．设集合
，
，则
中元素的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】
，

，故
，元素个数为1。

3．设
为等差数列，公差d=2，
为其前n项和，若
，则
( )

A．18 B．20 C．22 D．24

【答案】B

【解析】由
得
，即
。由于d=2，所以
。

4． 若
，
，且
，则向量
的夹角为( )

A. 45° B. 60° C. 120° D.135°

【答案】A

【解析】设
的夹角为
，则由
得：

，所以
，故
。

5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表所示,根据表中数据可得回归方程
中的b=10.6. 据此模型预报广告费用为10万元时销售额为( )

广告费用x（万元）

4

2

3

5



销售额y（万元）

49

26

39

58



A．112.1万元 B．113.1万元 C．111.9万元 D．113.9万元

【答案】C

【解析】由表中数据得：
。由于直线
过点
，且b=10.6，解得：

从而线性回归方程为
，于是
当时，得
。

6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为(　　)

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC，易知其外接圆的圆心为PC的中点O，半径
，所以表面积为
。

7．已知
＝
，则tan
＝( )

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】因为
,

所以
，于是
。

8．已知
,“函数
有零点”是“函数
在
上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若函数
有零点,则
;若函数
在
上为减函数,则
.故选B

9．已知实数x，y满足不等式组
,若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞,－1) B．(0,1) C．(1,＋∞) D．[1,＋∞)

【答案】C

【解析】如图，作出可行域。要使得目标函数z＝y－ax取

得最大值时的唯一最优解是P(1,3),则只需直线

的斜率大于直线
的斜率即可.

所以
.

10．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为
，直线
与抛物线C相交于A,B两点．若线段AB的中点为
，则直线l的方程为( )

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】易知抛物线的方程为
.设
则
，两式相减得：

，所以AB的斜率
，从而直线AB的方程为
，即