新余一中2016届毕业年级第八次模拟考试

数学（文）试题

命题人：廖宇慧 审题人：欧阳志

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）

1. 命题“
”的否定是（ C ）

A.
B.

C.
D.

2. 若纯虚数
满足
，则实数
等于（ D ）

A．
B.
或
C．
D．

3．已知
是等差数列，
，其前10项的和
，则其公差
（ A　）

A．
B．
C．
D．

4. 已知点
是抛物线
的焦点，
是该抛物线上两点，
，则
中点的横坐标为（ B ）

A．
B．2 C．
D．3

5．设平面向量
，若
，则
等于（ D ）

A．
B．
C．
D．

6. 我国古代数学名著《九章算数》中的更相减损法的思路与右图相似.记
为
除以
所得余数
，执行程序框图，若输入
分别为243,45，则输出的
的值为（ C ）

A.0 B.1 C.9 D.18

7．在△
中，若三个内角
成等差数列且
，则
的取值范围是（ D ）

A．
B．
C．
D．

8. 已知实数
满足：
，
，则
的取值范围是（ B ）

A.
B.
C.
D.

9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该该几何体的体积为（ C ）

A．
B.6 C.
D.

10. 已知函数
，若存在
，当
时，
，则
的取值范围是（ B ）

A.
B.
C.
D.

11.设
分别是双曲线
的左、右焦点，
是
的右支上的点，射线
平分
交
轴与点
,过原点
作
的平行线交
于点
,若
,则
的离心率为（ A ）

A.
B.3 C.
D.

12.已知函数
对于
使得
成立，则
的最小值为（ A ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选做题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选做题，考生根据要求做答.

二、填空题（本大题共4个小题．每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上）

13．函数
在区间
上的最小值是 .

14. 已知圆
，直线
，则圆
上任一点到直线
的距离小于2的概率是 .

15．已知三棱锥
的4个顶点都在球
的表面上，若
,
平面
，
，则球
的表面积是 ．

16. 如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为2的正方形，
是
的中点，现有一只蚂蚁位于外壁
处，内壁
处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒的所经过的最短路程是

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，向量
,
,满足条件
,
且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设函数
，数列
满足条件

①求数列
的通项公式； ②设
，求数列
的前
和
．

18、（本小题满分12分）

有一名同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对某种引领销售的影响，记录了2015年7月至12月每月15号下午14时的气温和当天卖出的饮料杯数，得到如下资料：

该同学确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选中的2组数据进行检验。

（1）求选取2组数据恰好是相邻的两个月的概率；

（2）若选中的是8月与12月的两组数据，根据剩下的4组数据，求出
关于
的线性回归方程
.

附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，

19.（本小题满分12分）

如图,四棱柱
的底面
是平行四边形,且
,
,
,
为
的中点,
平面
．

（1）证明:平面
平面
；

（2）若
,试求异面直线
与
所成角的余弦值.

解析：（Ⅰ）依题意
∴
是正三角形，
，
--3分

∵
⊥平面
，
平面
，

平面
------5分

平面
，∴平面
平面
． -------------6分

（Ⅱ）取
的中点
，连接
、
，连接

中，
是中位线，
,

∴四边形
是平行四边形，可得
-------------8分

可得
（或其补角）是异面直线
与
所成的角．

--------10分

,

即异面直线
与
所成角的余弦值为
. -------------12分

20.（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系
中，离心率为
的椭圆

的左顶点为
，过原点
的直线（与坐标轴不重合）与椭圆
交于
两点，直线
分别与
轴交于
两点．若直线
斜率为
时，
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）试问以
为直径的圆是否经过定点（与直线
的斜率无关）？请证明你的结论．

【解析】（Ⅰ）设
， ∵直线
斜率为
时，
，∴
，∴
，∴
，∵
，∴
．∴椭圆
的标准方程为
．

（Ⅱ）以
为直径的圆过定点
． 设
，则
，且
，即
，∵
，∴直线
方程为：
，∴
， 直线
方程为：
，∴
，以
为直径的圆为
，即
， ∵
，∴
， 令
，
，解得
， ∴以
为直径的圆经过定点：
．

21.（本小题满分12分）

已知函数
（其中
，
是自然对数的底数），
为
导函数．

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）若
，试证明：对任意
，
恒成立．

解析：（Ⅰ）由
得
，
，所以曲线
在点
处的切线斜率为
，

， ----------3分

曲线
切线方程为
，即
． ----------5分

（Ⅱ）由
，得
，令
，

所以
，
，

因此，对任意
，
等价于
，

由
，
，得