河北武邑中学2015-2016学年高三年级下学期第一次质量检测试题

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设复数
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.从1，2,3,4这四个数中，随机取出两个数字，剩下两个数字的和是奇数的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知
，则
（ ）

A．
B．
C．2 D．

5.抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是（ ）

A．
B．
C．2 D．

7.执行右边的程序框图，如果输入
，那么输出的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8.同时具有性质“①最小正周期是
；②
是图象的一条对称轴；③在区间
上是减函数”的一个函数是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.下列说明正确的是（ ）

A．“若
，则
”的否命题是“若
，则
”

B．
为等比数列，则“
”是“
”的既不充分也不必要条件

C．
，使
成立

D．“
”必要不充分条件是“
”

10.已知点
的坐标
满足
，过点
的直线
与圆
相交于
两点，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.在
中，内角
的对边分别是
，若
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

12.设方程
有两个不等的实根
和
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量
，
，且
与
共线，则
的值为 .

14.已知定义在
上的偶函数
满足：当
时，
，则关于
的不等式
的解集为 .

15.埃及数学家发现一个独特现象：除
用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数（分子为1的分数）和的形式. 例如
，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5人，如果每人
，不够，每人
，余
，再将这
分成5份，每人得
，这样每人分得
. 形如
的分数的分解：
，
，
，按此规律
.

16一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）已知等比数列
为递增数列，且
，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，求数列
的前
项和
.

18. （本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，底面是正三角形，点
是
中点，
，
.

（1）求三棱锥
的体积；

（2）证明：
.

19. （本小题满分12分）

某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名调查上、下班乘车所用时间，得下表：

公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额
（元）与乘车时间
（分钟）的关系是
，其中
表示不超过
的最大整数，以样本频率为概率.

（1）求公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率；

（2）估计公司每月用于路途补贴的费用总额（元）.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
的右焦点为
，右顶点为
，上顶点为
. 已知
，且
的面积为
.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线
上是否存在点
，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点
的坐标；若不存在，说明理由.

21. （本小题满分12分）

已知函数
.

（1）当
时，求
在区间
上的最大值；

（2）若在区间
上，函数
的图象恒在直线
下方，求
的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，等腰
的一条腰及底边中线分别与圆
相交于点
和
，圆
的切线
与直线
相交于点
.

（1）证明：
；

（2）
，
，求
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线
的方程为
，点
.

（1）以极点为原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程，
点的极坐标化为直角坐标；

（2）设
为曲线
上一动点，以
为对角线的矩形
的一边垂直于极轴，求矩形
周长的最小值，及此时
点的直角坐标.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（1）求函数
的最小值
；

（2）若正实数
满足
，求证：
.

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