唐山市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学 2016.3.3

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

有且只有一项符合题目要求．

(1)设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A
B的B的个数是

(A)5 (B)4 (C)3 (D)2

(2)复数
的虚部为

(A)
(B)
(C)一
(D)一

(3)已知向量a，b满足a·(a-b)=2，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为

(A)
(B)
(C)
(D)

(4) (x-2y)6的展开式中，x4y2的系数为

(A) 15 (B) -15 (C) 60 (D) -60

(5) A（
，1）为抛物线x2=2py(p>0)上一点，则A到其焦点F的距离为

(A)
(B)
+
(C) 2 (D)
+1

(6)执行右侧的程序框图，输出S的值为

(A) ln4 (B) ln5

(C) ln 5-ln4 (D) ln 4-ln 3

(7)若x，y满足不等式组
则
的最大值是

(A)
(B) 1 (C)2 (D)3

(8)Sn为等比数列{an}的前n项和，满足al=l，Sn+2=4Sn+3，则{an}的公比为

(A) -3 (B)2 (C)2或-3 (D)2或-2

(9)己知A(x1，0)，B(x2，1)在函数f(x)=2sin(
x+
) (
>0)的图象上，|x1-x2|的最

小值
，则
=

(A)
(B)
(C)l (D)

(10)某几何体的三视图如右图所示，则其体积为

(A)
(B) 8

(C)
(D) 9

(11)
为双曲线
=1（a>0，b>0）的右焦点，若
上存在一点P使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则r的离心率e的值为

(A)2 (B)
(C) .
(D)
+1

(12)数列{an}的通项公式为an=
，关于{an}有如下命题：

①{an}为先减后增数列； ②{an}为递减数列：

③
④

其中正确命题的序号为

(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考

生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

(13)在等差数列{an}中，a4=-2，且al+a2+...+a10=65，则公差d的值是 。

(14) 1000名考生的某次成绩近似服从正态分布N(530, 502)，则成绩在630分以上的考

生人数约为____．（注：正态总体
在区间

内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997）

(15)已知f(x)为奇函数，函数g(x）与f(x)的图象关于直线y=x+l对称，若g(1)=4，

则f(一3）=____．

(16)一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正

方形，从该几何体的12条棱所在直线中任取2条，所成角为60°的直线共有 对．

三、解答题：本大题共70分，其中(17) - (21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为

选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17)（本小题满分12分）

在右图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，

∠BCD=120°，∠BAC=60°,AC=2, 记∠ABC=θ。

(I)求用含θ的代数式表示DC;

(II)求△BCD面积S的最小值．

(18)（本小题满分12分）

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，

∠BAD=号，M为BB1的中点，Ol为上底面对角线的交

点．

(I)求证：O1M⊥平面ACM;

( II)求AD1与平面ADM所成角的正弦值．

(19)（本小题满分12分）

某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，

方案一：每满200元减50元：

方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲

箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出

1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）

(I)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；

(II)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？

（20)(本小题满分1 2分）

在△ABC中，A(-l，0)，B(1，0)，若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x

轴（ G，H不重合）．

(I)求动点C的轨迹
的方程；

(II)己知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求

此时直线AC的方程．

（21)（本小题满分12分）

已知函数f(x)=2x-ex+1．

(I)求f(x）的最大值；

( II)己知x∈(0，1)，af(x)

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如

果多做，则按所做的第一个题目计分．做答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方

框涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延

长AD交圆O于点E，BF∥CD且交ED于点F

(I)证明：△BCE∽△FDB;

( II)若BE为圆O的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，

求AD·ED.

(23)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半

圆C(圆心为点C)的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈(
，
)．

(I)求半圆C的参数方程：

(II)直线，与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A(O，-2)，点D在半圆C上，

且直线CD的倾斜角是直线，倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．

(24)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知函数f(x)=lx+1|-a|x-l|.

(I)当a=-2时，解不等式f(x)>5;

(II)若(x)≤a|x+3|，求a的最小值．

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理科数学参考答案

一、选择题：

A卷：CADCB ACBDA DC

B卷：BADCA ACBDB DC

二、填空题：

（13）3 （14）23 （15）－2 （16）48

三、解答题：

（17）解：（Ⅰ）在△ADC中，∠ADC＝360°－90°－120°－θ＝150°－θ，由正弦定理可得＝ ，即＝ ，于是：DC＝ ． …5分

（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得＝ ，即BC＝ ，

由（Ⅰ）知：DC＝ ，

那么S＝＝＝ ，

故θ＝75°时，S取得最小值6－3． …12分

（18）解：（Ⅰ）连接AO1，BD

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1⊥AC，

∵ 四边形ABCD是边长为2的菱形，

∴ AC⊥BD，

又∵ BD∩BB1＝B，

∴ AC⊥平面DBB1D1，

又∵ O1M平面DBB1D1，

∴ AC⊥O1M．

∵ 直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD＝，M为BB1的中点，

∴ BD＝2，AC＝2，B1M＝BM＝1，

∴ O1M2＝O1B12＋B1M2＝2，AM2＝AB2＋BM 2＝5，O1A2＝O1A12＋A1A2＝7，

∴ O1M2＋AM2＝O1A2，∴ O1M⊥AM．

又∵ AC∩AM＝A，∴ O1M⊥平面ACM． ． …6分

（Ⅱ）设BD交AC于点O，连接OO1，

以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则A(，0，0)，D(0，－1，0)，D1(0，－1，2)，M(0，1，1)，

＝(－,－1，2)，＝(－,－1，0)，＝(0，2，1)，

设平面ADM的一个法向量n＝(x，y，z)，

则即令x＝1，得n＝(1，－，2)．

设AD1与平面ADM所成角为(，

则sin(＝|cos(，n(|＝＝＝，

即AD1与平面ADM所成角的正弦值为． …12分

（19）解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P(A)＝＝，

两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率

P＝1－P()P()＝1－(1－)2＝．

…5分

（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．

若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320．

P(X＝160)＝，

P(X＝224)＝＝，

P(X＝256)＝＝，

P(X＝320)＝＝，

则E(X)＝160×＋224×＋256×＋320×＝240．

∵ 270＞240，

∴第二种方案比较划算． …12分

（20）解：（Ⅰ）由题意可设C (x，y)，则G(，)，H(x，)．

＝(x－1，)，＝(x＋1，y)，

因为H为垂心，所以?＝x2－1＋＝0，整理可得x2＋＝1，

即动点C的轨迹Г的方程为x2＋＝1（x·y≠0）． …5分

（Ⅱ）显然直线AC的斜率存在，设AC方程为y＝k(x＋1)，C(x0，y0)．

将y＝k(x＋1)代入x2＋＝1得(3＋k2)x2＋2k2x＋k2－3＝0，

解得x0＝，y0＝，则H(，)．

原点O到直线AC的距离d＝，

依题意可得＝，

即7k4＋2k2－9＝0，解得k2＝1，即k＝1或－1，

故所求直线AC的方程为y＝x＋1或y＝－x－1． …12分

（21）解：（Ⅰ）f((x)＝2－ex，

x＜ln2时，f((x)＞0；x＞ln2时，f((x)＜0，

所以f(x)在(－∞，ln2)上单调递增，在(ln2，＋∞)上单调递减，

则当x＝ln2时，f(x)取得最大值2ln2－1． …4分

（Ⅱ）x∈(0，1)时，f(x)在(0，ln2)上单调递增，在(ln2，1)上单调递减，

且f(0)＝0，f(1)＝3－e＞0，所以此时f(x)＞0，

因为tanx＞0，所以当a≤0时，af(x)≤0＜tanx． …6分

当a＞0时，令g(x)＝tanx－af(x)，则g((x)＝－a(2－ex)＝＋a(ex－2)，

故g((x)在(0，1)上单调递增且g((0)＝1－a．

（ⅰ）当0＜a≤1时，g((0)≥0，g((x)≥0，所以g(x)在(0，1)上单调递增，

又g(0)＝0，所以此时g(x)＞0，即af(x)＜tanx成立；

（ⅱ）当a＞1时，g((0)＜0，g((1)＞0，所以存在x0∈(0，1)使得g((x0)＝0，

即x∈(0，x0)时，g((x)＜0，g(x)单调递减，又g(0)＝0，所以此时g(x)＜0，

与af(x)＜tanx矛盾；

综上，a的取值范围是a≤1． …12分

（22）解：（Ⅰ）因为BF∥CD，所以∠EDC＝∠BFD，

又∠EBC＝∠EDC，所以∠EBC＝∠BFD，

又∠BCE＝∠BDF，所以△BCE∽△FDB. …4分

（Ⅱ）因为∠EBF＝∠CBD，所以∠EBC＝∠FBD，

由（Ⅰ）得∠EBC＝∠BFD，所以∠FBD＝∠BFD，

又因为BE为圆O的直径，

所以△FDB为等腰直角三角形，BD＝BF＝，

因为AB与圆O相切于点B，所以EB⊥AB，即AD·ED＝BD2＝2． …10分

（23）解：（Ⅰ）半圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1（y＞1），

它的参数方程是φ是参数且φ∈(0，π)． …4分

（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，

则直线l的方程为y＝xtanα－2，D(cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)． |AB|＝，点D到直线l的距离为

|sinαcos2α－cosαsin2α－3cosα|

＝|3cosα－sinαcos2α＋cosαsin2α|＝3cosα＋sinα，

由△ABD的面积为4得tanα＝1，即α＝，故点D为(0，2)． …10分

（24）解：（Ⅰ）当a＝－2时，f(x)＝

由f(x)的单调性及f(－)＝f(2)＝5，得f(x)＞5的解集为{x|x＜－，或x＞2}． …5分

（Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥，

由|x－1|＋|x＋3|≥2|x＋1|得≤，得a≥．

（当且仅当x≥1或x≤－3时等号成立）

故a的最小值为． …10分

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