江西省重点中学盟校2016届高三第一次联考

数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数
满足
,
是虚数单位,则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3.下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）

A.
B.

C.
D.

4.执行右边的程序框图，当
时，
表示
的

导函数，若输入函数
，则输出的函数
可

化为（ ）

A.
　　　　B.

C.
　　　D.

5.已知
，
满足约束条件
，若
的最大值为4，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.设数列
是首项为1，公比为
的等比数列，若
是等差数列，则

（ ）

A.4024 B.4026 C.4028 D.4030

7. 4位外省游客来江西旅游，若每人只能从庐山、

井冈山、龙虎山中选择一处游览，则每个景点都有

人去游览的概率为

A.
B.
C.
D.

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.对于下列命题：①若命题
使得
，命题

则命题“
且
”是真命题；②若随机变量
,
则

③“
成等差数列”是“
”成立的充要条件；④已知
服从正态分布
，且
，则

其中真命题的个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个

10.已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于点
、
，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为
，则
=（ ）

A．1 B．
C.2 D.3

11.已知向量
满足
，
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.函数
,若
对
恒成立,则实数
的范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13.已知抛物线
的焦点为
，点
，点
在抛物线上，则
的最小值为_____14.已知
的展开式中
的系数为
，则实数
的值为　　　　

15.已知
，删除数列
中所有能被2整除的数，剩下

的数从小到大排成数列
，则
__________

16.已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），
为
的中心，

与球相交于
，则
的长为_________

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分） 已知向量
，
互相垂直，其中
；

求
的值；（2）若
，求
的值.

18.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）

几何题

代数题

合计



男

25

5

30



女

10

10

20



合计

35

15

50



下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



（参考公式
其中
）

（1）能否在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）现从选择做几何题的10名女生中任意抽取3人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙、丙三位女生被抽到的人数为X， 求X的分布列及数学期望EX

19.（本小题满分12分）在等腰梯形
中，
，

，
，
是
的中点，将梯形

绕
旋转
，得到梯形
（如图）

（1）求证：

(2)求二面角
的余弦值

20.（本小题满分12分）已知椭圆

,垂直于
轴的焦点弦的弦长为
，直线
与以原点为圆心,以椭圆的离心率
为半径的圆相切.

（1）求该椭圆
的方程；

（2）过右焦点
的直线交椭圆于
两点，线段
的中点为
，

的中垂线与
轴和
轴分别交于
两点．记

的

面积为
，

的面积为
．求
的取值范围

21.（本小题满分12分）已知
．

（1）若

，讨论
的零点个数

（2）存在
，
且
，使
成立，求
的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分） 如图,圆
的直径
,
是
延长线上一点,

,割线
交圆
于点
,
,过点
作
的垂线,交直线
于点

,交直线
于点
．

（1）求证:
；

（2）求
的值．

23．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系
中，已知曲线
，以平面直角坐标系
的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
.

（1）将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线
,试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；

（2）在曲线
上求一点
，使点
到直线
的距离最大，并求出此最大值.

24．（本小题满分10分）

已知关于
的不等式|
－
|＋|
－1|

(
)．

（1）当
时，求此不等式的解集；

（2）若此不等式的解集为R，求实数
的取值范围．

江西省重点中学盟校2016届高三第一次联考

数学试卷（理科）答案

1-6 DBACBC 7-12 DCACBA 13. 3 14. 2 15. 861 16.

12.提示：
令

∴
在
只有一个零点
，∴
在
单增，在
单减，

∴
，令
，

∴

解：（1）
，
，
….6分

（2）∵
∴

…………12分

18.解：（1）
，故在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别是有关的；………4分

可取的值为0,1,2,3

，
，

，

0

1

2

3
















………12分

解：（1）在等腰梯形
中，
，
，同理
，

而据题意可知：二面角
为
，则平面角为
，即

又
，
，
；………6分

以
为坐标原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系，

则
，
，
，

，
，设
，

得
，令