江西省重点中学协作体2016届高三第一次联考

数学试卷（理）

命题人：临川一中 张文军 南昌二中 周启新

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
,
,
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．下列函数是以
为周期的奇函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．已知
为虚数单位，
为实数，复数
在复平面内对应的点为
，则“
”是“点
在第四象限”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

5．若等比数列
的各项均为正数，且
，则
（ ）

A. 50 B. 60 C. 100 D. 120

6．已知实数
，
满足
，其中
，则实数
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．从集合
中随机选取一个数记为
，从集合
中随机选取一个数记为
，则直线
不经过第四象限的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

8．已知双曲线

与抛物线
有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A.
B．
C．
D．

9．已知圆锥的底面半径为
,高为
,在它的所有内接圆柱中,侧面积的最大值是（ ）

A.
B．
C．
D．

10．若执行右边的程序框图，输出
的值为
的展开式中的常数项，则判断框中应填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知直线

被椭圆
截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆
截得的弦长一定为7的有（ ）

①
②
③
④

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

12.直线
分别与直线
，曲线
交于A，B两点，则
的最小值为（ ）

A.
B. 1 C.
D. 4

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

13．
＝__________．

14． 已知
，
，若
，则
= ．

15．2015年12月26日，南昌地铁一号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁游览八一广场、滕王阁、秋水广场。每人只能去一个地方，八一广场一定要有人去。则不同的游览方案有___种。

16．下面的数组均由三个数组成，它们是：
，
，
，
，
，……
，若数列
的前n项和为
，则
_______．

三．解答题：本大题共6小题，共70分．前5题每题满分12分，最后一道选做题满分10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．

17．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
。

（Ⅰ）若
，
，
成等比数列，
，求
的值。

（Ⅱ）若角
，
，
成等差数列，且
，求
面积的最大值。

18． 2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：

生二胎

不生二胎

合计



70后

30

15

45



80后

45

10

55



合计

75

25

100



（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望。

（Ⅱ）根据调查数据，是否有90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由；

参考数据：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879



（参考公式：
，其中
）

19．如图，在三棱柱
中，
，
，
为
的中点，
。

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）在线段
（不含端点）上，是否存在点
，使得二面角
的

余弦值为
？若存在，求出
的值，若不存在，说明理由。

20． 如图，抛物线


的焦点为
，取垂直于
轴的直线与抛物线交于不同的两点
，
，过
，
作圆心为
的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且
。

（Ⅰ）求抛物线
和圆
的方程；

（Ⅱ）过点
作直线
，与抛物线
和圆
依次交于
，
，
，
，求
的最小值。

21．已知函数
，
.(e为自然对数的底数）

（Ⅰ）若
，求
的最小值；

(Ⅱ)若函数
有两个不同的零点
，
，记
，

对任意
，
，试比较
与
的大小，并证明你的结论

请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
内接于直径为
的圆
，过点
作圆
的切线交
的延长线于点
，
的平分线分别交
和圆
于点
，若
.

（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线
的极坐标方程为
，定点
，
是圆锥曲线
的左、右焦点．直线
经过点
且平行于直线
．

（Ⅰ）求圆锥曲线
的直角坐标方程和直线
的参数方程；

（Ⅱ）若直线
与圆锥曲线
交于
两点，求
．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若
的最小值为
，设
，
，且
，求
的最小值．

江西省重点中学协作体2016届高三第一次联考 数学（理科）试题 参考答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．D 7．C 8．A 9．C 10．B 11．C 12．A

10．【答案】B

【解析】
,

程序执行过程中，
，
的值依次为
；

；
；
；
；
；

；程序结束，输出
，则判断框中应填入的条件是
，故选B。

11．【答案】C

【解析】直线
与直线
关于原点对称，直线
与直线
关于
轴对称，

直线
与直线
关于
轴对称，故有3条直线被椭圆
截得的弦长一定为7。

12．【答案】A

【解析】作与
平行的直线与
相切，得到切点为
。所以当
时，
。

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.
14. 5 15． 65 16．－1991

15．【答案】65

【解析】4个人去3个地方游览，每人只能去一个地方，共有
种方案，若八一广场没有人去，有
种方案，故八一广场一定要有人去。则不同的游览方案有81-16=65种。

三．解答题：(本大题共6小题，共70分．)

17．解：

（Ⅰ）∵
，∴
………………1分

由
，
，
成等比数列，有
，又由正弦定理得
，………3分

∴

………………6分

（Ⅱ）由角
，
，
成等差数列，有
，………………7分

又
，由余弦定理有
，

由基本不等式得，
（当且仅当
时等号成立）………………10分

∴
（当且仅当
时等号成立）………………12分

18．（Ⅰ）由已知得70后“生二胎”的概率为
，并且
～
，………………2分

所以

…