2015—2016学年第二学期赣州市十三县（市）期中联考

高三理科数学试卷

命题人： 审题人：

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1.已知
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2. 已知复数
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 由曲线
，直线
所围成的封闭图形的面积为( )

A.
B.
C.
D.

4. 将函数
图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移
个单位长度得到
的图象，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 已知数列
，若利用如图所示的程序框图

计算该数列的第11项，则判断框内的条件是( )

A．
B．
C．
D．

6. 设双曲线
的一条渐近线与抛物线
相切，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D． 5

7．下列命题中： ①“
”是“
”的充要条件;

②已知随机变量
服从正态分布
,
,则
;

③若n组数据
的散点图都在直线
上,则这n组数据的相关系数为
;

④函数
的所有零点存在区间是
.其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

8. 若
满足
，且
的最小值为
，则
的值为( )

.

.

.

.

9. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积
，则
( )

A．
B．
C．
D．

10. 设
，

则
（ ）

A.
B.
C.
D.

11. 某三棱锥的三视图如图所示，

则该三棱锥的外接球的表面积是(　 　)

A.
B.??
? C.
D.

12. 设函数
，其中
，若存在
，使得
成立，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，6个黄球，9个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是__________.

14. 如图，圆
与
轴的正半轴的交点为
，点
、
在圆
上，且点
位于第一象限，点
的坐标为（
），
，若
，则

15. 已知实数
满足：
，则

16. 点P是直线
上一动点，定点F（
，0），点O为坐标原点，点Q为PF的中点，动点M满足：
，过点M作圆
的切线，切点分别为S、T，则
的最小值是 .

三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，

且b2S2＝64，b3S3＝960.

(1)求an与bn；

(2)求证：
.

18. （本小题满分12分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）

（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，

求恰有一天空气质量达到一级的概率；

（2）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到

PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；

（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

19. （本小题满分12分）

如图, 已知四边形
和
均为直角梯形，
，
，

且
，平面
⊥平面
,
.

（Ⅰ）证明：AG
平面BDE;

（Ⅱ）求平面
和平面
所成锐二面角的余弦值.

20. （本小题满分12分）

已知抛物线S:
,过点
作抛物线S的两条切线
，满足
.

（1）求抛物线S的方程；

（2）圆P:
，过圆心
作直线
,此直线

与抛物线S、圆P的四个交点,自上而下顺次记为
,

如果线段
的长按此顺序构成一个等差数列,

求直线l的方程.

21. （本小题满分12分）

已知函数
(
R)．

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若对任意实数
，当
时，函数
的最大值为
，求
的取值范围．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（其中
为参数），点
是曲线
上的动点，点
在曲线
上，且满足
.

（Ⅰ）求曲线
的普通方程；

（Ⅱ）以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线
与曲线
、
分别交于
、
两点，求
.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设不等式
的解集为
,
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）比较
与
的大小.

2015—2016学年第二学期赣州市十三县（市）期中联考

高三理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

A C D D；C B C A；C D B A

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17、解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，

an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.

依题意有
解得

故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1. ………6分

(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋

＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)

＝－
.……12分

18、解：（1）记“恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，

．………4分

（2）依据条件，ξ服从超几何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：
． ………6分

ξ

0

1

2

3



P











………8分

（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
，

一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则
． ………10分

∴
，

∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级． ………12分

19、证明：由平面
，平面
,

平面BCEG,

.………1分

根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得

…………2分

（Ⅰ）设平面BDE的法向量为
，则

即
，
，

平面BDE的一个法向量为
………………………………………………4分

，
，

，∴AG∥平面BDE. ………………………………………………6分

（Ⅱ）设平面
的法向量为
，平面
和平面
所成锐二面角为

因为
,
,由
得
，………8分

平面
的一个法向量为
，

.

故平面
和平面
所成锐二面角的余弦值为
……….12分

20、解：（1）由抛物线S的对称性知切线
的斜率互为相反数，

又
，
，………2分

即切线
方程：
，

代入抛物线方程
得：

，

抛物线S的方程为
………5分

（2）圆
的方程为
,则其直径长
,圆心为
,

设l的方程
,代入抛物线方程得:

设
有
，………6分

则
………8分

因为
,

所以
即
,
………10分

则l方程为
或
.………12分

21、解：（Ⅰ）当
时，
，

则
，……………………………………1分

令
，得
或
；令
，得
，

∴函数
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
. ………4分

（Ⅱ）由题意
，

（1）当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，此时，不存在实数
，使得当
时，函数
的最大值为
.……………6分

（2）当
时，令
，有
，
，

①当
时，函数
在
上单调递增，显然符合题意.……………7分

②当
即
时，函数
在