唐山市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试

文科数学 2016.3.3

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

有且只有一项符合题目要求．

(1)设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A
B的B的个数是

(A)5 (B)4 (C)3 (D)2

(2)复数
的虚部为

(A)
(B)
(C)一
(D)一

(3)在等差数列{an}中，a4=2，且a1+a2+…+a10=65，则公差d的值是

(A)号 (B)3 (C)号 (D)2

(4)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的是

(A) y= -
(B)y=-x2

(C)y=e一x+ex (D) y=|x+1|

(5)执行右侧的程序框图，输出S的值为

(A) ln 4-ln 3 (B) ln5

(C) ln 5-ln4 (D) ln4

(6) cosasin(a+
)+sinasin(a-
)=

(A）
（B）-
（C）
（D）-

(7) A（
，1）为抛物线x2=2py(p>0)上一点，则A到其焦点F的距离为

(A)
+
(B)
(C)
+1 (D)2

(8)在区间[一1,1]上随机取一个数x，使cos
x≥
的概率为

(A)
(B)
(C)
(D)

(9)若x，y满足不等式组
则
的最大值是

(A)
(B) 1

(C)2 (D)3

(10)某几何体的三视图如右图所示，则其体积为

(A) 8
(B)

(C) 9
(D)

(11)
为双曲线
=1（a>0，b>0）的右焦点，若
上存在一点P使得△OPF

为等边三角形（O为坐标原点），则r的离心率e的值为

(A)2 (B)
(C) .
+1 (D)

(12)已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n=

(A)0 (B)2 (C) -4 (D) -2

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考

生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

(13)Sn为等比数列{an}的前n项和，满足Sn=2an-1，则{an}的公比q= 。

(14)已知向量a，b满足a·(a-b)=2，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角等于 ．

(15)直线l：
与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则△OAB的

内切圆的方程为____．

(16) 一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正

方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为 ．

三、解答题：本大题共70分，其中(17) - (21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为

选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17)（本小题满分12分）

在右图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，

∠BCD=150°，∠BAC=60°,AC=2,AB=
+1.

(I)求BC;

(II)求△ACD的面积．

（18）（本小题满分12分）

为迎接即将举行的集体跳绳比赛，高一年级对甲、乙两个代表队各进行了6轮测试，

测试成绩（单位：次／分钟）如下表：

( I)在答题卡上补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数：

( II)试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析.

(19)（本小题满分12分）

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，

∠BAD=
，M为BB1的中点，Ol为上底面对角线的

交点．

(I)求证：O1M⊥平面ACM1；

(II)求Cl到平面ACM的距离．

(20)（本小题满分12分）

已知椭圆C：
=1（a>b>0）的右焦点为F(2,0)，点P(2,
)在椭圆上．

( I)求椭圆C的方程；

(II)过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为

△ABM的重心，求直线l的方程．

(21)（本小题满分1 2分）

已知函数f(x)=a(tan x+l)-ex．

(I)若f(x)在x=0处的切线经过点(2，3)，求a的值；’

( II)x∈（0，
）时，f(x)≥0，求a的取值范围．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如

果多做，则按所做的第一个题目计分．做答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方

框涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延

长AD交圆O于点E，BF∥CD且交ED于点F

(I)证明：△BCE∽△FDB;

( II)若BE为圆O的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，

求AD·ED.

(23)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半

圆C(圆心为点C)的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈(
，
)．

(I)求半圆C的参数方程：

(II)直线，与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A(O，-2)，点D在半圆C上，

且直线CD的倾斜角是直线，倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．

(24)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知函数f(x)=lx+1|-a|x-l|.

(I)当a=-2时，解不等式f(x)>5;

(II)若(x)≤a|x+3|，求a的最小值．

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文科数学参考答案

一、选择题：

BABCD ABACA CD

二、填空题：

（13）2 （14） （15）(x－1)2 ＋(y－1)2＝1 （16）8π

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝6，

所以BC＝． …4分

（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得＝ ，则sin∠ABC＝ ，

又0°＜∠ABC＜120°，所以∠ABC＝45°，从而有∠ACB＝75°，由∠BCD＝150°，得∠ACD＝75°，又∠DAC＝30° ，所以△ACD为等腰三角形，

即AD＝AC＝ 2，故S△ACD＝1． …12分

（18）解：（Ⅰ）茎叶图如下：

甲



乙







6

3

6

2

8

9







6

3

2

7

5

5













2

8

3











…4分

乙队测试成绩的中位数为72，众数为75． …6分

（Ⅱ）甲＝＝72，

s＝＝39；

乙＝＝72，

s＝＝44，

…10分

因为甲＝乙，s＜s，所以甲乙两队水平相当，但甲队发挥较稳定． …12分

（19）解：（Ⅰ）连接AO1，BD

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1⊥AC，

∵ 四边形ABCD是边长为2的菱形，

∴ AC⊥BD，

又∵ BD∩BB1＝B，

∴ AC⊥平面DBB1D1，

又∵ O1M平面DBB1D1，

∴ AC⊥O1M．

∵ 直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD＝，M为BB1的中点，

∴ BD＝2，AC＝2，B1M＝BM＝1，

∴ O1M2＝O1B12＋B1M2＝2，AM2＝AB2＋BM 2＝5，O1A2＝O1A12＋A1A2＝7，

∴ O1M2＋AM2＝O1A2，

∴ O1M⊥AM．

又∵ AC∩AM＝A，

∴ O1M⊥平面ACM．

…6分

（Ⅱ）∵A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ACM，

即C1到平面ACM的距离等于O1到平面ACM的距离，

由（Ⅰ）得O1M⊥平面ACM，且O1M＝，

即点C1到平面ACM的距离为． …12分

（20）解：（Ⅰ）由题意可得c＝2，左焦点F1(－2，0)，|PF|＝，

所以|PF1|＝＝，即2a＝|PF|＋|PF1|＝2，

即a2＝6，b2＝2，

故椭圆C的方程为＋＝1． …5分

（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

将l的方程代入C得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，

所以AB的中点N (，)，即M (，)．

由点M在C上，可得15k4＋2k2－1＝0，解得k2＝或－（舍），即k＝±．

故直线l的方程为y＝±(x－2)． …12分

（21）解：（Ⅰ）解：f((x)＝－ex，所以f((0)＝a－1，

又f(0)＝a－1，所以a－1＝，解得a＝2． …4分

（Ⅱ）由f(x)≥0得a≥，

令g(x)＝，则g((x)＝，

x∈(0，)，g((x)＞0；x∈(，)，g((x)＜0，所以g (x)的最大值为g()＝，

故所求a的取值范围是a≥． …12分

（22）解：（Ⅰ）因为BF∥CD，所以∠EDC＝∠BFD，

又∠EBC＝∠EDC，所以∠EBC＝∠BFD，

又∠BCE＝∠BDF，所以△BCE∽△FDB. …4分

（Ⅱ）因为∠EBF＝∠CBD，所以∠EBC＝∠FBD，

由（Ⅰ）得∠EBC＝∠BFD，所以∠FBD＝∠BFD，

又因为BE为圆O的直径，

所以△FDB为等腰直角三角形，BD＝BF＝，

因为AB与圆O相切于B，所以EB⊥AB，即AD·ED＝BD2＝2． …10分

（23）解：（Ⅰ）半圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1（y＞1），

它的参数方程是φ为参数且φ∈(0，π)． …4分

（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，

则直线l的方程为y＝xtanα－2，D(cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)． |AB|＝，点D到直线l的距离为

|sinαcos2α－cosαsin2α－3cosα|＝|3cosα－sinαcos2α＋cosαsin2α|＝3cosα＋sinα，

由△ABD的面积为4得tanα＝1，得α＝，故点D为(0，2)． …10分

（24）解：（Ⅰ）当a＝－2时，f(x)＝

由f(x)的单调性及f(－)＝f(2)＝5，得f(x)＞5的解集为{x|x＜－，或x＞2}． …5分

（Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥，

由|x－1|＋|x＋3|≥2|x＋1|得≤，得a≥．

（当且仅当x≥1或x≤－3时等号成立）

故a的最小值为． …10分

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