唐山市2016年2月15日调研考试

高三理科数学

一、选择题

1. 复数
的共轭复数所对应的点位于复平面的( )．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 已知
和点M满足
，若
成立，则实数
的值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

3. 已知双曲线C：
（a＞0，b＞0）的离心率为
，且经过点（2，
），则双曲线C的标准方程为( )

A．
B．
C．
D．

4. 若
，则
等于（ ）

A．-1 B．1 C．2 D．4

5. 已知条件p：关于x的不等式
有解；条件q：
为减函数，则p成立是q成立的( )．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 已知不等式组
表示区域
，过区域
中任意一点
作圆
的两条切线且切点分别为
，当
最大时，
（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知
，若
( )

A.
B.
C.
D.

8. 在二项式
的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )

A.
B.
C.
D.

9．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A．
B．
C．
D．

10.若函数
，函数
，则
的最小值为（ ）

A．
B．1 C．
D．2

11. 若非零向量
与向量
的夹角为钝角，
，且当
时，
取最小值
，向量
满足
，则当
取最大值时，
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 已知函数
，若存在
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人．为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 ．

14. 在正三棱锥S—ABC中，AB＝
，M是SC的中点，AM⊥SB，则正三棱锥S－ABC外接球的球心到平面ABC的距离为____________．

15. △ABC中，tan A是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tan B是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状为________．

16. 已知函数
，有下列4个结论：

①函数
的图象关于y轴对称；

②存在常数
，对任意的实数x，恒有
成立；

③对于任意给定的正数M，都存在实数
，使得
；

④函数
的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行.

其中，所有正确结论的序号为 .

三、解答题

17. （本小题满分10分）

在
中，角
所对的边分别为
，且满足
。

（1）若
，求
的面积。

（2）若
，求
的最小值。

18. （本小题满分12分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.

19. （本小题满分12分）

如图，几何体
中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，
.

（1）求证：
；

（2）求二面角
的大小.

20. (本小题满分12分）设不等式
确定的平面区域为
，
确定的平面区域为
.

（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域
内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域
内的概率；

（2）在区域
内任取3个点，记这3个点在区域
内的个数为
，求
的分布列和数学期望.

21. (本小题满分12分）

已知椭圆C:
+
= 1(a ＞b ＞0) 的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A( -4,0)，过点R（3,0)作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x =
于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2 ,试问: k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

22. （本小题满分12分）

设函数

（1）若
存在最大值M，且
，求
的取值范围；

（2）当
时，试问方程
是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由。

开学调研考试答案

一、选择题

CBACB BBDBD AB

二、填空题

（13）78 （14）
（15）锐角三角形 （16）③④

三、解答题

18、解：(1)依题意得，

解得

所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，

即an＝2n＋1(n∈N*)．

(2)＝3n－1，bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，

Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋ (2n＋1)·3n－1，①

3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n，②

①－②得

－2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2·3n－1－(2n＋1)3n

＝3＋2·－(2n＋1)3n＝－2n·3n，

所以Tn＝n·3n(n∈N* )．

19、

20.

21.

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