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鹰潭市2016届高三第一次模拟考试

数学试题(理科)

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1. 已知全集
R，集合
，
，则图中阴影部分所表示的集合为( )

A．
B．

C．
D．

2. 设复数
（
是正实数），且
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

3. 以下四个命题，正确的是 ( )

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每
分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样.

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
.

③在回归直线方程
中，当变量x每增加一个单位时，变量
平均增加
单位.

④对分类变量
与
,它们的随机变量,
的观测值
来说,
越小，“
与
有关系”的把握程度越大.

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

4. 已知
，由如右程序框图输出的
( )

A．
B．
C．
D．

5．如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗线画出的是某几何体的三视图，

则在该几何体中，最长的棱与最短的棱所成角的余弦值是( )

A．
B．
　 C．
D．

6． 函数
，则满足
的实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

7．某公司将
名员工分配至
个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须

分配在同一个部门的不同分配方法数为( )

A．
B．
Ｃ．
D．

8． 函数
的两条相邻的对称轴之间的距离为
，若其图象向右平移

个单位后得到的函数为奇函数，则函数
（ ）

A．关于点
对称 B．关于点
对称

C．关于直线
对称 D．关于直线
对称

9．设等差数列
满足
，且
，
为其前
项和，则数列
的最大项为( )　

A．
B．
C．
D．

10．已知双曲线
的左、右焦点分别
，
，若双曲线上存在点
，使得
，则该曲线的离心率
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

11．如图，已知正方体
棱长为
,点
在棱
上，且
，

在侧面
内作边长为
的正方形
,
是侧面
内一动点且

点
到平面
距离等于线段
的长，则当点
运动时，
的最小

值是( )

A．
B．
C．
D．

12．已知
为常数，函数
有两个极值点
，
（
）( )A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.
展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________．

14. 过平面区域
内一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，记

，则当角
最小时
的值为 .

15．在平面直角坐标系
中，点
是椭圆
上动点，点
在直线
上，且
，

则线段
在
轴上的投影的最大值为____________．

16．已知数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
，设

，若在数列
中，

，则实数
的取值范围是_____.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间； （Ⅱ）在
中，内角
的对边为
，

已知
,
,
，求
的面积.

18．（本小题满分12分）

　 每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚。2016年春节期间，小张在自己的微信校友

群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同。

（Ⅰ）若小张随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；

（Ⅱ）小张在丁离线后随机发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，1个红包中有10元，记

乙所得红包的总钱数为
元，求
的分布列和数学期望。

19．（本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
，
，且
，
，
.

和
分别是棱
和
的中点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成的角的正弦值.

20．（本题满分12分）

设椭圆
：
，其中长轴是短轴长的
倍，过焦点且垂直于
轴的直线被椭圆截得的弦长为
。

（I）求椭圆
的方程；

（II）点
是椭圆
上动点，且横坐标大于
，点
，
在
轴上，

内切于
，试判断点
的横坐标为何值时
的面积
最小。

21．（本题满分12分）

已知函数
为自然对数的底数).

（I）若
，求函数
的单调区间；

（II）若
，且方程
在
内有解，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
内接于直径为
的圆
，过点
作圆
的切线交
的延长线于点
，
的平分线分别交
和圆
于点
，若

.

（1）求证：
； （2）求
的值.

23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，

建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
是参数

（1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线
与曲线
相交于
、
两点，且
，求直线的倾斜角
的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（I）当
时，解不等式
；

（II）若存在实数
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围．

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鹰潭市2016届高三第一次模拟考试

数学(理科)答案

一、选择题：1—5 DCBAD 6 —10 CCCCD 11—12 BA

二、填空题：

13．
14．
15．
16．

三、解答题：

17．解：解：
=

=
=

=
……………………3分

令


，

的单调递增区间为：
……………5分

（2）由
，又

因此
，解得：
………………7分

由正弦定理
，得
，

又由
可得：
……………10分

故
…………12分

18．解（1）设“甲至少得1红包”为时间A，由题意得：

………………4分

（2）由题意知
可能取值为
。…………………5分

,

,
,

…………………10分

所以
分布列为





























…………………12分

19. 解：（1）∵
为
中点，
，∴
.

又∵
，∴四边形
为平行四边形.

又∵
，∴
，∴四边形
为矩形，∴
.

又∵
，
，∴
平面
.

又∵
，∴
平面
.∵
平面
，∴
.

又∵
，∴
.又∵
平面
.

又∵
平面
，∴