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鹰潭市2016届高三第一次模拟考试

数学试题(文科)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．已知集合
,则下列结论正确的为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数
满足
，则
的实部为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．某种树的分枝生长规律如图所示（如前4年分枝数分别为1，1，2，3），则预计第7年树的分枝数为（ ）

A． 8 B．12 C．13 D．16

4．已知向量
若实数x，y满足，
则
的最大值是（　 　）

A．
 B．
 C．
 D．


5．以下四个命题中，正确的个数是（ ）

①命题“若
是周期函数，则
是三角函数”的否命题是“若
是周期函数，

则
不是三角函数”

②命题 “存在
”的否定是“对于任意
”；

③在
中，“
”是“
” 成立的充要条件.

④若函数f（x）在(2015,2017)上有零点，则一定有f（2015）· f（2017）<0.

A． 0 B．1 C．2 D．3

6．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，
≤φ≤π）的部分图象，

其中A，B两点之间的距离为5，那么f（2016）=（　 　）

A．
 B．﹣
 C．-1 D．1

7．已知函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
，若数列
满足
，且
，则
=（ ）

A．6 B．-6 C．-2 D．2

8．阅读如下程序框图，如果输出
，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知双曲线
的一条渐近线过点
，且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为（ ）

10．已知数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，
，则数列
的前10项的和为（　 　）

A．
 B．
 C．
 D．


11．过点(，0)引直线l与曲线y＝ 相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于 (　 　)

A．－ B．  C．± D．－

12．已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数k＞0，使
对一切实数x均成立，

则称f（x）为“期盼函数”．给出下列函数：

①f（x）=x3；②f（x）=
sinx+cosx；③f（x）=
；④f（x）=

其中f（x）是“期盼函数”的有（ 　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

13．已知向量
，且
，则实数
等于______.

14. 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对新交通法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为____.

15. 一个几何体的三视图如图所示，它的外接球的表面积为______.

已知
是方程
的两个不等实根，

函数
的定义域为
，
，

若对任意
，恒有
成立，则实数a的取值范围是______.

解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcos C＝2a－c.

　　(1)求B；

(2)若△ABC的面积为，求b的取值范围．

18．(本小题满分12分)

如图，在三棱锥
中，
，
，
°，

平面
平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．

(1)求证：
；

(2)求三棱锥P-BEC的体积.

19． (本小题满分12分)

某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：

x

2

4

5

6

8



y

30

40

60

50

70



若广告费支出x与销售额y回归直线方程为
＝6.5x＋a(a∈R)．

(1)试预测当广告费支出为12万元时，销售额是多少？

(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过

5的概率．

20．(本小题满分12分)

已知椭圆
的对称轴为坐标轴，离心率为
，且一个焦点坐标为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设直线
与椭圆
相交于
两点，以线段
为邻边作平行

四边形
，其中点
在椭圆
上，
为坐标原点．求点
到直线
的距

离的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知f(x)=ax2-(b+1)xlnx-b，曲线y=f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程为2x+y=0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)研究函数f(x)在区间
内的零点的个数.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲：

22．（本小题满分10分）

如图，已知圆的两条弦AB，CD，延长AB，CD交于圆外一点E，过E作AD的平行线交CB的延长线于F，过点F作圆的切线FG，G为切点．求证：

（1）△EFC∽△BFE；

（2）FG=FE．

选修4-4：坐标系与参数方程：

23．（本小题满分10分）

已知曲线E的极坐标方程为
，倾斜角为α的直线l过点P (2，2).

（1）求曲线E的直角坐标方程和直线
的参数方程；

（2）设l1, l2是过点P且关于直线x=2对称的两条直线，l1与E交于A, B两点，l2与E交于C, D两点. 求证：|PA| : |PD|=|PC| : |PB|.

选修4-5：不等式选讲：

24．（本小题满分10分）

设函数

（1）若函数f(x)有最大值，求a的取值范围；

（2）若a=1，求不等式f(x)＞|2x-3|的解集

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鹰潭市2016年高三第一次模拟考试

数学试题(文科)答案

一、选择题：

1--5 ADCAB 6--10 DBBDD 11-12 AB

二、填空题：

(13) 9 (14)808 (15)
(16)

17．解：(1)由正弦定理得2sin Bcos C＝2sin A－sin C. ………1分

∵在△ABC中，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，

∴sin C(2cos B－1)＝0.又00，∴cos B＝，注意到0

(2)∵S△ABC＝acsin B＝，∴ac＝4，………8分

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥ac＝4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立，

∴b的取值范围为[2，＋∞)．………12分

18.解:(1)连结
，因为
∥
，又
°，所以
.………3分

又
，
为
中点，所以
.所以
平面
，所以
.…6分

(2)因为平面
平面
， 有
， 所以
平面
，………8分

所以
………12分

19．解　(1)＝＝5，＝＝50，……………2分

因为点(5,50)在回归直线上，代入回归直线方程求得a＝17.5，……4分

所求回归直线方程为：＝6.5x＋17.5，当广告支出为12时，

销售额
＝6.5×12＋17.5＝95.5. ………………………6分

(2)实际值和预测值对应表为

x

2

4

5

6

8



y

30

40

60

50

70





30.5

43.5

50

56.5

69.5



在已有的五组数据中任意抽取两组的基本事件：(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个，……10分

两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的有(60,50)，所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为P＝1－＝.……12分

20．⑴由已知设椭圆
的方程为
，则
．…………1分

由
，得
． ∴椭圆
的方程为
……4分

⑵当直线
斜率存在时，设直线
方程为
．

则由
消去
得
．

．①

设点
的坐标分别是
．

∵四边形
为平行四边形，∴
．

．……6分

由于点
在椭圆
上，∴
．

从而
，化简得
，经检验满足①式．………8分

又点
到直线
的距离为
．…10分

当且仅当
时等号成立．

当直线
斜率不存在时，由对称性知，点
一定在
轴上．

从而点
的坐标为
或
，直线
的方程为
，∴点
到直线
的距离为
．

∴点
到直线
的距离的最小值为
．………………………………12分

21．解：（1）a=1,b=e, f(x)=x2-(e+1)xlnx-e; …………………5分

（2）x2-(e+1)xlnx-e=0
x-(e+1)lnx-
=0 ,x∈
.

设g(x)= x-(e+1)lnx-
, x∈
, 则g’(x)=

由g’(x)=0得x1=1, x2=e, ………………………8分

当x∈(0,1)时，g’(x)>0, x∈(1,e)时，g’(x)<0, x∈(e,e4)时，g’(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上增，在(1,e)上减，在(e,e4) 上增, ………9分

极大值g(1)=1-e<0, 极小值g(e)=-2<0,g(e4)=e4-4(e+1)-
,

∵4(e+1)+
<4×4+1=17，e4>2.74>2.54>62=36. ∴g(e4)>0. ……………11分

g(x)在
内有唯一零点, 因此，f(x) 在
内有唯一零点. …………………12分

选修4—1：几何证明选讲：

22．证明：（Ⅰ）∵EF∥AD，∴∠FEB=∠A，又∠A=∠C，∴∠C=∠FEB，

在△EFC与△BFE中，∵
，∴△EFC∽△BFE．………5分

（Ⅱ）∵△EFC∽△BFE，∴
，∴EF2=FB?FC，

又FG是圆的切线，由切割线定理得FG2=FB?FC，∴EF2=FG2，∴FG=FE．………10分

选修4—4：坐标系与参数方程：

23．解：（1）E:x2=4y(x≠0), l:
(t为参数) ………5分

（2）∵l1, l2关于直线x=2对称,

∴l1, l2的倾斜角互补.设l1的倾斜角为α，则l2的倾斜角为π-α,

把直线l1:
(t为参数)代入x2=4y并整理得：t2cos2α+4(cosα-sinα)t-4=0,

根据韦达定理，t1t2=
,即|PA|×|PB|=
.……8分

同理即|PC|×|PD|=
=
.

∴|PA|×|PB|=|PC|×|PD|,即|PA | : |PD|=|PC | : |PB|. ……………………10分

选修4—5：不等式选讲：

24．解：（1）
,………………………2分

∵f(x)有最大值，∴1-a≥0且1+a≤0,…………………4分

解得a≤-1.最大值为f(2)=2 ……………5分

（2）即|x-2|-|2x-3|+x>0.

设g(x)= |x-2|-|2x-3|+x=
, …………7分

由g(x)>0解得x>
.原不等式的解集为{x|x>
}. ………………………10分

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