唐山市2016届高三年级数学调研试卷

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22—24题为选考题，其它题为必考题，共150分，考试时间120分钟.

考生作答时，将答案在答题纸上，在本试卷上答题无效.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知集合
，则M∩N= （ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数z满足(1-
i)z=
+
i，则|z|= （ ）

A．1 B．2 C．
D．

3．等差数列
中，已知
（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．过抛物线
的焦点作直线
交抛物线于A、B两点，若线段AB中的横坐标为3，则|AB|等于 （ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

5．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ).

A.
B.

C.
D.

6．P是△ABC所在平面内一点，若
，则P是△ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

7．函数
的图象恒过定点A，且点A在直线
上
，则
的最小值为 （ ）

A．12 B．10 C．8 D．14

8．若函数f(x)=asinx-bcosx(a≠0)在x=
处取得最小值,则函数y=f(
-x)是 (　 　)

A.偶函数且图象关于点(π,0)对称 　 B.偶函数且图象关于点
对称

C.奇函数且图象关于点
对称　 D.奇函数且图象关于点(π,0)对称

9.在半圆x2+y2=4(y≥0)上任取一点P,则点P的横坐标小于1的概率是 ( )

A.
B.
C.
D.

10．函数
时，下列式子关系正确的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

11．数列
中，
，且
，则
为 （ ）

A．
B．
C．
D．

12．设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，则 （ ）

A. x1x2<0 B. x1x2=1 C. x1x2>1 D.0

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.用e≈1+
+
+
+…+
求e的近似值（n!=1×2×3×…×n），

流程图如图所示.在①、②处分别填上适当的式子.

①_________,②_________.

14．设变量x、y满足下列条件
,则z=xy的最大值

为 ________.

15．已知双曲线C:
(a>0,b>0)左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线C的右支于A，B两点，如果|AF1|=3a，|BF1|=5a，则此双曲线的渐近线方程为 _______________.

16．一个几何体的三视图如图所示，它的外接球的体积

为______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

如图，A、B两点在河岸的南侧，C、D两点在河岸的北侧,由A点看B、C两点时，张角为45°，由A点看C、D两点时，张角为75°；由B点看A、D两点时，张角为30°，由B点看C、D两点时，张角为45°. 已知A、B两点间的距离为
km，求C、D两点间的距离.

18．（本小题满分12分）

某班50名学生在一次数学考试中，成绩都属于

区间[60，110], 将成绩按如下方式分成五组：

[60，70）,[70,80）,[80,90）, [90,100）, [100,110].

部分频率分布直方图如图所示. 成绩不小于90分

的人数为20.

（1）请补全频率分布直方图；

（2）在成绩属于[60,70）和[100,110]的学生中任取

两人，成绩记为
，求
的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB⊥AC，且AB=1，BC=2，PA⊥底面ABCD，PA=
，又E为边BC上异于B, C的点，且PE⊥ED.

（1）求证:平面PAE⊥平面PDE;

（2）求点A到平面PDE的距离.

20．（本小题满分12分）

已知定点C（-1，0）及椭圆
，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.

（1）若线段AB中点的横坐标是
，求直线AB的方程；

（2）在
轴上是否存在点M，使
为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

已知f(x)=ax2-(b+1)xlnx-b，曲线y=f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程为2x+y=0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)研究函数f(x)在区间
内的零点的个数.

请考生在题22，23，24中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

选修4-1：几何证明选讲：

22．（本小题满分10分）

如图5，⊙O1和⊙O2 公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点.

（1）求证：△DEF∽△DHG；

（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求
的值.

选修4-4：坐标系与参数方程：

23．（本小题满分10分）

已知曲线E的极坐标方程为
，倾斜角为α的直线l过点P(2，2).

（1）求E的直角坐标方程和直线
的参数方程；

（2）设l1, l2是过点P且关于直线x=2对称的两条直线，l1与E交于A, B两点，l2与E交于C, D两点. 求证：|PA|：|PD|=|PC|：|PB|.

选修4-5：不等式选讲：

24．（本小题满分10分）

设函数

（1）若函数f(x)有最大值，求a的取值范围；

（2）若a=1，求不等式f(x)<|2x-3|的解集.

参考答案

一、选择题

1．D; 2．B; 3．B; 4．C; 5．C; 6．D; 7．A; 8．D; 9．B; 10．C; 11．B; 12．D．

二、填空题

13．①
;②k=k+1； 14．1； 15．y=
x； 16．
．

三、解答题

17.解:∠ACB=180°-45°-(30°+45°)=60°

由
及AB=
得BC=
……….4分

∠ADB=180°-30°-(75°+45°)=30°

由
及AB=
得BD=3.………….8分

CD2=BD2+BC2-2BD×BCcos45°=5.

∴CD=
. ……….12分

18．解：（1）由图得，成绩在
的人数为4人，

所以在
的人为16人，

所以在
的频率为
． ………2分

在
的频率为
． ………4分

补全的频率分布直方图如图所示．………6分

（2）由图得：成绩在
的有3人，

设为
；

在
的为4人，设为
．

则所取两人总共有：

这21种； ………9分

其中满足
有
这12种

所以
的概率为
………12分

19．（1）DE⊥平面PAE; （2）
.

20．解：（1）依题意，直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，

将
代入
， 消去
整理得

…………2分

设
因为点（-1，0）在椭圆内部，所以⊿﹥0

则
…………4分

由线段
中点的横坐标是
， 得
，

解得
，适合
．…………．．4分

所以直线
的方程为
，或
．………6分

（2）解：

假设在
轴上存在点
，使
为常数．

① 当直线
与
轴不垂直时，由（Ⅰ）知

所以

…………8分

将
代入，整理得

注意到
是与
无关的常数， 从而有
，

此时
…………10分

② 当直线
与
轴垂直时，此时点
的坐标分别为
，

当
时， 亦有
………11分

综上，在
轴上存在定点
，使
为常数．………12分

21．解：（1）a=1,b=e, f(x)=x2-(e+1)xlnx-e; ………………………5分

（2）x2-(e+1)xlnx-e=0
x-(e+1)lnx-
=0 ,x∈
.

设g(x)= x-(e+1)lnx-
, x∈
,

则g’(x)=

由g’(x)=0得x1=1, x2=e, ………………………8分

当x∈(0,1)时，g’(x)>0, x∈(1,e)时，g’(x)<0, x∈(e,e4)时，g’(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上增，在(1,e)上减，在(e,e4) 上增, ………9分

极大值g(1)=1-e<0,

极小值g(e)=-2<0,

g(e4)=e4-4(e+1)-
,

∵4(e+1)+
<4×4+1=17，e4>2.74>2.54>62=36.

∴g(e4)>0. ………………………………11分

g(x)在
内有唯一零点,

因此，f(x) 在
内有唯一零点. …………………………12分

选修4—1：几何证明选讲：

22．（1）证明：∵AD是两圆的公切线，

∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH,

∴DE×DG= DF×DH, ∴
，

又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG.………………………4分

（2）连结O1 A，O2A，∵AD是两圆的公切线，

∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，

∴O1O2共线，

∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC，

∴DG⊥DH，∴AD2= O1A×O2A， ………………………8分

设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，

∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，

∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）

∴DE=6x，DF=4x，∴
. ………………………10分

选修4—4：坐标系与参数方程：

23．解：（1）E:x2=4y(x≠0), l:
(t为参数) ………5分

（2）∵l1, l2关于直线x=2对称,

∴l1, l2的倾斜角互补.设l1的倾斜角为α，则l2的倾斜角为π-α,

把直线l1:
(t为参数)代入x2=4y并整理得：

t2cos2α+4(cosα-sinα)t-4=0,

根据韦达定理，t1t2=
,即|PA|×|PB|=
.……8分

同理即|PC|×|PD|=
=
.

∴|PA|×|PB|=|PC|×|PD|,

即|PA|：|PD|=|PC|：|PB|. ……10分

选修4—5：不等式选讲：

24．解：（1）
,………………………2分

∵f(x)有最大值，

∴1-a≥0且1+a≤0, ………………………4分

解得a≤-1.

最大值为f(2)=2 ……………………5分

（2）即|x-2|-|2x-3|+x>0.

设g(x)= |x-2|-|2x-3|+x=
, …………7分

由g(x)>0解得x>
.

原不等式的解集为{x|x>
}. ………………………10分

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