试卷类型：A

唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试

文科数学

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

（1）已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∪B＝（A）(－2，1) （B）(－1，1)（C）(－2，2) （D）(－1，2)

（2）设复数z满足(1＋z)(1＋2i)＝i，则复平面内表示复数z的点位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限

（3）已知α为实数，则“α＝2kπ＋（k∈Z）”是“tanα＝1”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件

（4）大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为（A） （B）（C） （D）

（5）执行右侧的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S＝（A）6 （B）12（C）14 （D）20

（6）已知a＝log34，b＝logπ3，c＝50.5，则a，b，c的大小关系是（A）a＜b＜c （B）a＜c＜b（C）b＜c＜a （D）b＜a＜c

（7）若实数x，y满足则z＝3x＋4y的最大值是（A）3 （B）8（C）14 （D）15

（8）函数f(x)＝cos(x＋)＋2sinsin(x＋)的最大值是（A）1 （B）sin（C）2sin （D）

（9）椭圆y2＋＝1（0＜m＜1）上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（A）[，1) （B）(0，]（C）[，1) （D）(0，]

（10）在(ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·＝（A）－12 （B）12（C）－6 （D）6

（11）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB．该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A） （B）（C） （D）

（12）已知函数f(x)＝＋sinπx在[0，1)上的最大值为m，在(1，2]上的最小值为n，则m＋n＝（A）－2 （B）－1（C）1 （D）2

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

（13）已知双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程是y＝±2x，则C的离心率e＝____．

（14）已知△ABC的三边长分别为2，3，，则△ABC的面积S＝_____．

（15）已知函数f(x)＝ex－ax－1，若x轴为曲线y＝f(x)的切线，则a＝____．

（16）已知AB是球O的直径，C、D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为_____．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－7，S8＝0．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）数列{bn}满足b1＝，bnbn＋1＝2an，求数列{bn}的通项公式．

（18）（本小题满分12分）

二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：

使用年数

2

4

6

8

10



售价

16

13

9.5

7

4.5



（Ⅰ）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：＝，＝－．）

（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w＝0.05x2－1.75x＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？

（19）（本小题满分12分）

如下图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为边AD的中点，分别沿BE，CE将△ABE，△DCE折叠，使平面ABE和平面DCE均与平面BCE垂直．

（Ⅰ）证明：AD∥平面BEC；

（Ⅱ）求点E到平面ABCD的距离．

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线C：y2＝4x，经过点(4，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，M(－4，0)，O为坐标原点．

（Ⅰ）证明：kAM＋kBM＝0；

（Ⅱ）若直线l的斜率为k（k＜0），求的最小值．

（21）（本小题满分12分）

设函数f(x)＝＋(1－k)x－klnx．

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）若k为正数，且存在x0使得f(x0)＜－k2，求k的取值范围．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD内接于圆O，AC与BD相交于点F，AE与圆O相切于点A，与CD的延长线相交于点E，∠ADE＝∠BDC．

（Ⅰ）证明：A、E、D、F四点共圆；

（Ⅱ）证明：AB∥EF．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

曲线C1的参数方程是（φ为参数，0＜φ＜π），曲线C2与曲线C1关于原点对称．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C3的极坐标方程是ρ＝2（0＜θ＜π）．过极点O的直线l分别与曲线C1，C2，C3相交于点A，B，C．

（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；

（Ⅱ）求|AC|·|BC|的取值范围．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x＋1|＋m|x－1|．

（Ⅰ）当m＝2时，求不等式f(x)＜4的解集；

（Ⅱ）若m＜0，f(x)≥2m，求m的最小值．

唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试

文科数学参考答案

一、选择题

A卷：CBADB DCABA BD

B卷：CCADB DDABA BC

二、填空题

（13） （14） （15）1 （16）36π

三、解答题

（17）解：

（Ⅰ）由S8＝0得a1＋a8＝－7＋a8＝0，

∴a8＝7，d＝＝2， …3分

所以{an}的前n项和为Sn＝na1＋d＝－7n＋n(n－1) ＝n2－8n． …6分

（Ⅱ）由题设得bnbn＋1＝2an，bn＋1bn＋2＝2an＋1，

两式相除得bn＋2＝4bn， …8分

又b1b2＝2a1＝，b1＝，所以b2＝＝2b1，

所以bn＋1＝2bn，即{bn}是以为首项，以2为公比的等比数列，

故bn＝2n－5． …12分

（18）解：（Ⅰ）由已知：＝6，＝10，＝242，＝220，

＝＝－1.45，＝－＝18.7； …6分

所以回归直线的方程为＝－1.45x＋18.7

（Ⅱ）z＝－1.45x＋18.7－(0.05x2－1.75x＋17.2)

＝－0.05x2＋0.3x＋1.5

＝－0.05(x－3)2＋1.95，

所以预测当x＝3时，销售利润z取得最大值． …12分

（19）解：

（Ⅰ）分别取BE，CE中点M，N，连接AM，MN，DN，

由已知可得△ABE，△DCE均为腰长为4的等腰直角三角形，

所以AM⊥BE，且AM＝2．

又∵平面ABE⊥平面BCE，且交线为BE，

∴AM⊥平面BEC，

同理可得：DN⊥平面BEC，且DN＝2．

∴AM∥DN，且AM＝DN，

∴四边形AMND为平行四边形．

∴AD∥MN，又∵MN平面BEC，AD平面BEC，

∴AD∥平面BEC． …6分

（Ⅱ）点E到平面ABC的距离，也就是三棱锥E－ABC的高h．

连接AC，MC，在Rt△EMC中有MC＝＝2，在Rt△AMC中有AC＝＝4．可得AC2＋AB2＝BC2，所以△ABC是直角三角形．

由VE—ABC＝VA—BEC得·AB·AC·h＝·BE·EC·AM，

可知h＝．

∴点E到平面ABC的距离为． …12分

（20）解：（Ⅰ）设l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

将x＝my＋4代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－16．…3分

kAM＝＝＝＝，同理kBM＝，

所以kAM＋kBM＝0． …6分

（Ⅱ）＝＝＝－m＋≥4，

当且仅当m＝－2时等号成立，

故的最小值为4． …12分

（21）解：（Ⅰ）f((x)＝x＋1－k－＝＝,

（ⅰ）k≤0时，f((x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

（ⅱ）k＞0时，x∈(0，k)，f((x)＜0；x∈(k，＋∞)，f((x)＞0，

所以f(x)在(0，k)上单调递减，f(x)在(k，＋∞)上单调递增． …5分

（Ⅱ）因k＞0，由（Ⅰ）知f(x)＋k2－的最小值为f(k)＋k2－＝＋k－klnk－，

由题意得＋k－klnk－＜0，即＋1－lnk－＜0． …8分

令g(k)＝＋1－lnk－，则g((k)＝－＋＝＞0，

所以g(k)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，

所以k∈(0，1)时，g(k)＜0，于是＋k－klnk－＜0；

k∈(1，＋∞)时，g(k)＞0，于是＋k－klnk－＞0．

故k的取值范围为0＜k＜1． …12分

（22）解：

（Ⅰ）因为AE与圆O相切于点A，所以∠CAE＝∠CBA；

因为四边形ABCD内接于圆O，所以∠CBA＝∠ADE；

又已知∠ADE＝∠BDC，所以∠BDC＝∠CAE，

故A，E，D，F四点共圆． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ADE＝∠AFE＝∠BDC，

又∠BDC＝∠BAC（同弧所对的圆周角相等），

所以∠AFE＝∠BAC，故AB∥EF． …10分

（23）解：

（Ⅰ）由（φ为参数，0＜φ＜π）得(x－1)2＋y2＝1（0＜y≤1），

所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ（0＜θ＜）． …5分

（Ⅱ）由题意可设A(ρ1，θ)，C(2，θ)（0＜θ＜），

则|AC|＝2－ρ1＝2－2cosθ，|BC|＝2＋ρ1＝2＋2cosθ，所以|AC|·|BC|＝4sin2θ∈(0，4)． …10分

（24）解：

（Ⅰ）当m＝2时，f(x)＝

由f(x)的单调性及f()＝f(－1)＝4，得f(x)＜4的解集为{x|－1＜x＜}． …5分

（Ⅱ）由f(x)≥2m得|x＋1|≥m (2－|x－1|)，

因为m＜0，

所以－|x＋1|≥|x－1|－2，

在同一直角坐标系中画出

y＝|x－1|－2及y＝－|x＋1|的图像，

根据图像性质可得－≥1，即－1≤m＜0，

故m的最小值为－1． …10分

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