河北定州中学2015—2016学年度第二学期开学考试

高三年级 理科数学试卷

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1.已知全集 U=R，集合 A={x y=log2 (-x2+2x)}，B={ y y=1+
}，那么A∩CUB = ( )

A. {x 0＜ x ＜1} B. {x x＜ 0 }

C. {x x＞ 2 } D. {x 1＜x＜2}

2.在复平面内，复数z满足z（1 + i)= |1+
i|，则z的共轭数对应的点 ( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.在各项均为正数的等比数列{an}中，若am+1 ? am-1 = 2am(m(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m-1—1=512,则m的值为（ ）

A.4 B. 5 C. 6 D.7

4.已知函数f(x) = sin
x+ 3sin(
x +
) (
＞0) 的最小正周期为
，则f(x)在区间[0,
]上的值域为 （ ）

A. [0,
] B. [-
,
] C. [-
,1] D. [-
,
]

5.执行如图的程序框图，那么输出S的值是

A. 2

B.

C. -1

D. 1

6.在二项式（
+
）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )

A.
B.
C.
D.

7.在△ ABC中，a，b, c分别是角A，B，C所对边的边长，若cos A + sin A-
=0,则
的值是

A. 1 B.

C.

D. 2

8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如右图所示 (单位:cm)，则该几何体的体积为( )

A. 120 cm3

B. 80 cm3

C. 100 cm3

D. 60 cm3

9.在△ ABC中，BC=5，G，O分别为AABC的重心和外心，且
?
=5，则△ABC的形状是

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能

10.平行四边形ABCD中，
·
= 0，沿BD将四边形折起成直二面角A— BD — C，且 2
2 +|
|2=4，则三棱锥A—BCD的外接球的表面积为 （ ）

A.
B.

C.4
D.2

11.已知双曲线C的方程为
一
= 1 , 其左、右焦点分别是F1、F2 ,已知点M坐标为（2，1)，双曲线C上点 P(x0,y0 ) (x0 ＞0，y0＞0) 满足
=

，则S△PMF1 - S△PMF2 = ( )

A -1 B. 1 C. 2 D. 4

12.定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (x + 2) =
f (x)，当 x ∈ [0,2)时，f (x)=
, 函数g（x)=x2+3x2+m, 若
s ∈ [ - 4，-2)，
t∈ [- 4，-2)，不等式f(s)—g(t)≥0成立，则实数m的取值范围是 （ ）

A. (
，-12] B. (
，-4]

C. (
，8] D.(
，
]

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设a =
(sin x—1 + 2cos2
)dx，则(a-
)6? (x2 +2 )的展开式中常数项是 ( )

14.以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测，这样的抽样是分层抽样,

②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1,

③某项测量结果
服从正态分布N (1，a2),P(
≤5)=0.81，则P
≤ 3) =0.19,

④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系” 的把握程度越大。

以上命题中其中真命题的个数为 .

15.已知圆C：(x -3) 2 + (y —4) 2 = 1和两点A( -m，0)，B(m，0) (m＞0)，若圆上存在点P，使得 ∠APB —90°，则m的取值范围是 .

16.f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f'(x)，若f(x)—f'(x) ＜1，f(0) = 2016,则不等式f(x) ＞2015 ? e x + 1(其中e为自然对数的底数）的解集为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn ，向量a= (S n ，1)，b= (2n — 1,
),满足条件a∥b,

(1)求数列{an}的通项公式,

(2)设函数f(x)= (
)x，数列{bn}满足条件b1=1,f(bn+1) =
.

①求数列{bn}的通项公式,

②设Cn =
， 求数列{ Cn }的前n项和Tn.

18.(本小题满分12 分）

如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD 和 BC，SA=AB = BC=2，AD = 1.M 是棱 SB 的中点.

(1)求证:AM//平面SCD,

(2)求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值,

(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为0，求sin
的最大值.

19.(本小题满分12分）

几何题

代数题

总计



男同学

22

8

30



女同学

8

12

20



总计

30

20

50



(1)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣 小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表(单位?人):

(1)能否据此判断有97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5 — 7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6 - 8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率,

(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X).

附表及公式

20.(本小题满分12分）

已知椭圆C:
+
= 1(a ＞b ＞0) 的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y + 12 = 0相切.

(1)求椭圆C的方程,

(2)设A( -4,0)，过点R（3,0)作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP， AQ分别交直线x =
于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2 ,试问: k1 k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

21.(本小题满分10分)选修4一5 :不等式选讲

已知函数 f(x)=ln(x+1)-x .

(1)求f(x)的单调区间,

(2)若k∈Z，且f(x-1)+x＞k (1-3 )对任意x＞1恒成立，求k的最大值,

(3)对于在区间（0，1)上的任意一个常数a，是否存在正数x。，使得ef(x0 ) ＜ 1 -
x
成立？ 请说明理由.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.(本小题满分10分)选修4一1:几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB = DC;

(2)设圆的半径为1，BC=
,延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆 的半径.

23.(本小题满分10分)选修4一4坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C:
sin
= 2acos
(a＞0)，过点P( —2，一4)的直线L的参数方程为
,t(为参数），直线L与曲线C分别交于M，两点.

(1)写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程 ；

(2)若PM, MN ,PN成等比数列，求实数a的值.

24.(本小题满分10分)选修4一5 :不等式选讲

已知函数 f(x)=| x + 1 | + 2 |x—1 | .

(1)解不等式,f (x) ＜4 ;

(2)若不等式f(x) ≥ | a + 1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案及解析

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