河北武邑中学2015-2016学年高三年级下学期第一次质量检测试题

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知
为实数，若复数
为纯虚数，则
的值为（ ）

A．1 B．-1 C．
D．

2.已知集合
，
，且
，则实数
的值为（ ）

A．
B．
或-1 C．
或0 D．0

3.抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是（ ）

A．
B．
C．2 D．

4.函数
的零点包含于区间（ ）

A．
B．
C．
D．

5.执行右边的程序框图，如果输入
，那么输出的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

6.下列说明正确的是（ ）

A．“若
，则
”的否命题是“若
，则
”

B．
为等比数列，则“
”是“
”的既不充分也不必要条件

C．
，使
成立

D．“
”必要不充分条件是“
”

7.已知平面向量
满足：
，
，
，
，则实数
的值为（ ）

A．-4 B．-2 C．2 D．4

8.若正数
满足
，则
的最小值为（ ）

A．1 B．6 C．9 D．16

10.在
中，内角
的对边分别是
，若
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

11.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.定义区间
的长度为
（
），函数
的定义域与值域都是
，则区间
取最大长度时实数
的值为（ ）

A．
B．-3 C．1 D．3

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知定义在
上的偶函数
满足：当
时，
，则关于
的不等式
的解集为 .

14.已知
，则
展开式中，
项的系数为 .

15.埃及数学家发现一个独特现象：除
用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数（分子为1的分数）和的形式. 例如
，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5人，如果每人
，不够，每人
，余
，再将这
分成5份，每人得
，这样每人分得
. 形如
的分数的分解：
，
，
，按此规律
.

16.已知函数
，函数
，若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）已知等比数列
为递增数列，且
，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，求数列
的前
项和
.

18. （本小题满分12分）在某项娱乐活动的海选过程中，评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在
内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛.

（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手的成绩平均数和中位数；

（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率如下表：

假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手的成绩分别为（单位：分）45,52,58，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量
，求
的分布列和数学期望.

19. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱
中，底面
为边长为6的等比三角形，点
在平面
内的射影为
的中心.

（1）求证：
；

（2）若
与底面
所成角为
，
为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
的两焦点为
，离心率为
，直线
与椭圆相交于
两点，且满足
，
为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设向量
，
，且
，试证明
的面积为定值.

21. （本小题满分12分）

设函数
在
处的切线与
轴相交于点
.

（1）求
的值；

（2）函数
能否在
处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由；

（3）当
时，试比较
与
大小.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，等腰
的一条腰及底边中线分别与圆
相交于点
和
，圆
的切线
与直线
相交于点
.

（1）证明：
；

（2）
，
，求
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线
的方程为
，点
.

（1）以极点为原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程，
点的极坐标化为直角坐标；

（2）设
为曲线
上一动点，以
为对角线的矩形
的一边垂直于极轴，求矩形
周长的最小值，及此时
点的直角坐标.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（1）求函数
的最小值
；

（2）若正实数
满足
，求证：
.

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