巴蜀中学2017届高三上学期第一次月考理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.若复数
满足
（
为虚数单位），则复数
位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知向量
，
，且
，则

（ ）

A．
， B．5 C．
D．

4.命题“
，
”的否定是（ ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

5.函数
的零点所在的大致区间为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.集合
，
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7.为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）

A．向右平移
个单位 B．向左平移
个单位

C．向右平移
个单位 D．向左平移
个单位

8.已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，若双曲线上存在点
，使得
，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知非零向量
，
满足
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10.设集合
，集合
，若
中恰有一个整数，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 已知抛物线
焦点为
，过焦点
的直线交抛物线于
，
，
为坐标原点，若△
的面积为4，则弦
（ ）

A．6 B．8 C．12 D．16

12.某三棱锥的三视图如图所示，正视图是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.函数
的单调增区间为 ．

14.已知函数

，且
，则
．

15.已知
：
，
：
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围是 ．

16.函数
是
上的增函数，且
，其中
为锐角，并且使得函数
在
上单调递减，则
的取值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知
．

（1）求函数
的单调区间；

（2）在锐角△
的三个角
，
，
所对应的边为
，
，
，且
，求
的取值范围．

18.随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表：

年龄（单位：岁）















频数

5

10

15

10

5

5



赞成人数

3

10

12

7

2

1



（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的
列联表，并判断是否有
的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：

年龄不低于45岁的人数

年龄低于45岁的人数

合计



赞成









不赞成









合计









（2）若从年龄在
，
的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查．记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为
，求随机变量
的分布列及数学期望．

参考数据如下：

0.050

0.010

0.001





3.841

6.635

10.828



参考公式：
，
．

19.如图，四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
为线段
上一点，且
．

（1）求证：
；

（2）若平面
平面
，直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求
的值．

20.已知椭圆
：
，圆
：
的圆心
在椭圆
上，点
到椭圆
的右焦点的距离为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
作互相垂直的两条直线
，
，且
交椭圆
于
，
两点，直线
交圆
于
，
两点，且
为
的中点，求△
的面积的取值范围．

21.
．

（1）若
，求函数
的单调区间；

（2）若
，求证：
．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-1：几何证明选讲

如图，
是△
的外接圆，
的平分线
交
于
，交
于
，连接
并延长，交
于
，交
于
．

（1）证明：
；

（2）若
，
，
，求
的长．

23.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的方程是
，圆
的参数方程是
（
为参数）．以原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）分别求直线
与圆
的极坐标方程；

（2）射线
：
（
）与圆
的交点为
、
两点，与直线
交于点
，射线
：
与圆
交于
，
两点，与直线
交于点
，求
的最大值．

24.选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（1）当
时，解不等式
；

（2）当
时，证明：
．

高2017届高三（上）第一次月考理科数学试题答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

A

B

C

B

D

C

C

C

D

A



二、填空题

13.
14.21 15.
16.

三、解答题

17.解：（1）由三角函数公式化简得

，

∴
或
，
，

∴结合三角形内角的范围可知
，

由余弦定理得
，

∴
，

∵△
为锐角三角形，∴
∴
，

由正弦定理得
，

∴
．

18.解：（1）
列联表

年龄不低于45岁的人数

年龄低于45岁的人数

合计



赞成

3

32

35



不赞成

7

8

15



合计

10

40

50




，

所以有
的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．

（2）
所有可能取值有0,1,2,3，

，
，
，

，

所以
的分布列是

0

1

2

3















所以
的期望值是
．

19.证明：（1）在△
中，
，
，
，

由正弦定理得：
，即
，解得
，

∴
，即
，

∵
平面
，
平面
，∴
，

又
，
平面
，
平面
，∴
平面
，

∵
平面
，∴
．

（2）∵
平面
，
平面
，