鞍山一中2017届高三上学期第一次模拟考试 理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.
（ ）

A．
B．
C．
D．-2

2.已知全集
，集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.设
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.
（ ）

A．
B．
C.
D．0

5.若
，则（ ）

A．
B．
C.
D．

6.已知
是函数
的极小值点，那么函数
的极大值为（ ）

A．15 B．16 C.17 D．18

7.函数
的图象大致形状是（ ）

A． B． C. D．

8.已知函数
，若方程
有且只有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C.
D．

9.
（ ）

A．
B．
C.
D．

10.设函数
，若互不相等的实数
满足
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C.
D．

11.已知函数
，则
（ ）

A．0 B．5 C. 4 D．1

12.已知函数
若
恒成立，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C.
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知
，则
____________.

14.若
是奇函数，且在
内是增函数，又有
，则
的解集是_________.

15.对于函数
，若存在区间
，当
时的值域为
，则称
为
倍值函数.若
是
倍值函数，则实数
的取值范围是________.

16.如果对定义在
上的函数
，对任意两个不相等的实数
都有
，则称函数
为“
函数”.

下列函数①
；②
；③
；④

是“
函数”的所有序号为_______.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）

已知函数
.

（1）求
的值；

（2）若
，求
.

18. （本小题满分12分）

已知命题
指数函数
的定义域为
；命题
不等式
，对
上恒成立.

（1）若命题
为真命题，求实数
的取值范围；

（2）若命题“
”为真命题，命题“
”为假命题，求实数
的取值范围.

19. （本小题满分12分）

已知函数
，其中
.

（1）当
时，求
值域；

（2）若
最小值为
，求
表达式及
最大值.

20. （本小题满分12分）

已知函数
，其中
.

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线的斜率；

（2）当
时，求函数
的单调区间与极值.

21. （本小题满分12分）

已知定义在
上的函数满足：
，当
时，
.

（1）求证：
为奇函数；

（2）求证：
为
上的增函数；

（3）解关于
的不等式：
.（其中
且
为常数）.

22.（本小题满分12分）

已知函数
.

（1）若
在
处取得极小值，求
的值；

（2）若
在
上恒成立，求
的取值范围；

（3）求证：当
时，
.

2016-2017学年高三（17届）一模数学理科答案

一、选择题

1-5:DBACA 6-10:DBCCD 11、12：BD

二、填空题

13.
14.
15.
16.①③

三、解答题

17.解：（1）
.………………4分

（2）∵
，
，

∴
.……………………10分

18.解：（1）由题意：当
时，
的定义域不为
，不合题意.………………2分

当
时，
且
，故
.………………4分

（2）若
为真，则
，对
上恒成立，
为增函数且
，故
.………………6分

“
”为真命题，命题“
”为假命题，等价于
一真一假，

故
.………………12分

19.解：（1）设
，
,则
，所以
，

求得值域为
.………………6分

（2）
，

综上
，且其最大值为-1.………………12分

20.解：（1）当
时，
故
.

所以曲线
在点
处的切线的斜率为
.………………4分

（2）解：
.

令
，解得
，或
.由
知，
.

以下分两种情况讨论：

若
，则
.当
变化时，
的变化情况如下表：

所以
在
内是增函数，在
内是减函数.

函数
在
处取得极大值
，且
.

函数
在
处取得极小值
，且
.

若
，则
，当
变化时，
的变化情况如下表：

所以
在
内是增函数，在
内是减函数.

函数
在
处取得极大值
，且
.………………12分

21.解：（1）由
，令
，得：

，即
.

再令
，即
，得：

.

∴
，

∴
是奇函数.………………4分

（2）设
，且
，则
.

由已知得：
，

∴
，

∴
.

即
在
上是增函数.………………8分

（3）∵
，

∴
，

∴
.

即
.

∵
，
，

∴
.

当
，即
时，不等式解集为
或
.

当
，即
时，不等式解集为
.

当
，即
时，不等式解集为
或
.………………12分

22.解：（Ⅰ）∵
的定义域为
，
，

∵
在
处取得极小值，∴
，即
.

此时，经验证
是
的极小值点，故
.………………2分

（Ⅱ）∵
，

①当
时，
，∴
在
上单调递减，

∴当
时，
矛盾.………………4分

②当
时，
，

令
，得
；
，得
.

（ⅰ）当
，即
时，

时，
，即
递减，∴
矛盾.

（ⅱ）当
，即
时，

时，
，即
递增，∴
满足题意.

综上，
.………………8分

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知令
，当
时，
，

（当且仅当
时取“
”）

∴当
时，
.………………10分

即当
，有