东北育才学校2016-2017高三第一次模拟考试

数学科（文）试卷

答题时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合
，则

A．
B．
C．
D．

答案：C

2．若
，则
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：A

3．在复平面内复数
的对应点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

答案：B

4．已知
、
取值如下表：

0

1

4

5

6

8





1.3

1.8

5.6

6.1

7.4

9.3



从所得的散点图分析可知：
与
线性相关，且
，则

A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80

答案: B

5．设
是等差数列，公差为
，
是其前
项的和，且
，
，则下列结论错误的是

A．
B．
C．
D．
和
均为
的最大值

答案：C

6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

答案：B

7．设
，将这五个数据依次输入下边程序框进行计算，则输出的
值及其统计意义分别是

A．
，即
个数据的方差为

B．
，即
个数据的标准差为

C．
，即
个数据的方差为

D．
，即
个数据的标准差为

答案：A

8．已知区域

，向区域
内随机投一点
，点
落在区域
内的概率为

A．
B．
C．
D．

答案：C

9.如果函数
的图象关于点
（1，2）对称，那么（ ）

A.
－2，
4 B.
2，
－4 C.
－2，
－4 D.
2，
4

【知识点】函数图象的对称中心.

【答案解析】A 解析 ：解：

∵函数
=
，其对称中心为

，再由函数
的图象关于点A（1，2）对称，可得
=1，
=2，∴P=-2，n=4，故选A．

10．已知函数
（其中
），若将函数
的图像向左平移
个单位后所得图像关于
轴对称，若将函数
的图像向右平移
个单位后所得图像关于原点对
称，则
的取值不可能是

A．
B．
C．
D.

答案：B

11．下列四个图中，函数y=
的图象可能是

【知识点】函数的图象变换及函数性质；排除法、特殊值法；定义域、值域、单调性、奇偶性以及特殊点的函数值.

【答案解析】C解析：解：∵
是奇函数，向左平移一个单位得
∴
图象关于（-1，0）中心对称，故排除A、D，

当x＜-2时，y＜0恒成立，排除B．

故选：C

12.已知函数
在
上可导，其导函数为
，若
满足
，
，则下列判断一定正确的是

A.
B.

C.
D.

B

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题纸的相应位置.

13.已知
，若
，则
．

【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值.

【答案解析】
或
解析 ：解：x≤0时，f（x）=x2-x=2，x=2（舍去）或x=
，x＞0时，f（x）=1+2lgx=2，lgx=
，故x=

综上所述：x的值为
或

故答案为：
或

14. 已知向量
、
满足
，且
，则
．

答案：

15．在ΔABC中，
，
，则
_______。

答案：

2sin2(A/2)=1-cosA=√3sinA √3sinA+cosA=1 2(√3/2sinA+?cosA)=1 √3/2sinA+?cosA=? sinA·cos(π/6)+sin(π/6)·cosA=? sin(A+π/6)=? ∴A+π/6=5π/6 A=2π/3 sinBcosC=3cosBsinC 正弦定理和余弦定理得a^2=b^2+c^2+bc,a^2=2(b^2-c^2) 所以b^2-3c^2-bc=0, b/c==(1+√13)/2

16.已知总体中的
个个体的数值由小到大依次为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，且总体的中位数为
，平均数是
，若要使该总体的方差最小，则

.200

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，满足
.

（Ⅰ）求角
；

（Ⅱ）求
的取值范围.

17.解:（Ⅰ）
，化简得
，……3分

所以
，又
所以
……6分

(Ⅱ)


……9分

因为
，
，所以
. ……11分

故
的取值范围是
……12分

18．（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和Sn满足

（Ⅰ）求数列
的前三项a1，a2，a3；

（Ⅱ）求证：数列
为等比数列，并求出
的通项公式。

解析：（Ⅰ）在
中分别令
得：

解得：
……3分

（Ⅱ）由
得：

两式相减得：
……6分

……9分

故数列
是以
为首项，公比为2的等比数列．高考资源所以

……12分

19.（本小题满分12分）

某校高二年级在一次数学必修模块考试后随机抽取40名学生的成绩，按成绩共分为五组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在90分以上（含90分）的记为
级，成绩小于90分的记为
级.

（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从成绩为
级和
级的学生中共选出10人，求成绩为
级和
级的学生各选出几人?

（Ⅱ）已知
是在（Ⅰ）中选出的成绩为
级的学生中的一个，若从选出的成绩为
级学生中选出2人参加某问卷调查，求
被选中的概率.

. 解：（Ⅰ）依题意，成绩为
级的学生人数是
人，

成绩为
级的学生人数是
人 ………2分

因为分层抽样的抽取比例为
,故成绩为
级的学生抽取出
人

成绩为
级的学生抽取出
人 ……5分

（Ⅱ）将（Ⅰ）中选取的成绩为
级的学生记作：
，
，
，
，
，
，
.

则从这7人中选取2人的基本事件有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共21个

………8分

其中含
的基本事件有：
，
，
，
，
，
，共6个.……10分

记事件
“学生
被选中”，则其概率
………12分

20(本小题满分12分）

已知函数
的图象为曲线
, 函数
的图象为直线
.

(Ⅰ) 当
时, 求
的最大值;

(Ⅱ) 设直线
与曲线
的交点的横坐标分别为
, 且
, 求证:
.

解：(Ⅰ)

单调递增，
单调递减，

(Ⅱ)不妨设
，要
证

只需证

，即

令

只需证

令
，
，
在
单调递增。

，
，
在
单调递增。

，

所以

网

21.（本小题满分12分）

已知函数
(
).

（Ⅰ）是否存在实数
，使得
在区间
上为增函数，
上为减函数?若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；

（Ⅱ）若当
时，都有
恒成立，求
的取值范围.

21.解: （Ⅰ）
，∴
，

若
，使
在（0，
）上递增，在（
，
）上递减，

则
，∴
，这时
，

当
时，
，
递增。

当
时
，
递减。 ∴
......4分

（Ⅱ）(方法1)

首先令
得

即
，则
对
恒成立，

这时
在
上递减，∴
......6分

若
，则当
时，
，
，

不可能恒小于等于0

若
，则
不合题意 ......8分

若
，则
，
，

∴
，使
，并且
时，
，这时
递增，
，不合题意 ......11分

综上
......12分

(方法2)

令△＝

若△
，即
，则
对
恒成立，

这时
在
上递减，∴
......6分

以下同(方法1)

或者:

若
，则
，
，

∴
，使
，

并且
时，
，这时
递增，
，

不合题意 ......11分

综上
......12分

选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
是以
为直径的圆