遵义四中2017届高三上学期第一次月考

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，
，则
（ ）

A．{3} B．{1} C．{1,3} D．{1,2,3}

2.已知复数
，则复数
的共轭复数
在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 以
为圆心，且与两条直线
与
同时相切的圆的标准方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

4. 已知
，
，且
，则向量
与
的夹角为 ．

A．
B．
C.
D．

5. 如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知函数
在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的
，则输出的
等于（ ）

A.37 B.30 C.24 D.19

8.已知
为锐角，若
，则
（ ）

A．3 B．2 C．
D．

9.如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ）

A．360种 B．720种 C．780种 D．840种

10.已知实数
，
，则关于
的一元二次方程
有实数根的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.如图，
，
是双曲线
的左、右两个焦点，若直线
与双曲线
交于
、
两点，且四边形
为矩形，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
，则
（ ）

A．2017 B．2016 C．4034 D．4032

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 半径为
的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____.

14. 在
中，边
的垂直平分线交边
于
，若
,则
的面积为 .

15. 6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A，B，C，D四个不同的方向前往灾区.

已知下面四种说法都是正确的.

⑴甲轻型救援队所在方向不是C方向，也不是D方向；

⑵乙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；

⑶丙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；

⑷丁轻型救援队所在方向不是A方向，也不是D方向；

此外还可确定：如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向，有下列判断：

①甲所在方向是B方向；②乙所在方向是D方向；③丙所在方向是D方向；④丁所在方向是C方向.

其中判断正确的序号是 .

16. 函数
在点
处的切线
与函数
的图象也相切，则满足条件的切点
的个数有_______个.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知各项都为正数的等比数列
满足
是
与
的等差中项，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，且
为数列
的前
项和，求数列的
的前
项和
.

18. （本小题满分12分）

某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：
，
，
，
，
，得到如图所示的频率分布直方图：

（Ⅰ）写出
的值；

（Ⅱ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人 ，并用
表示其中男生的人数，求
的分布列和数学期望.

19. （本小题满分12分）

如图，已知等边
中，
，
分别为
，
边的中点，
为
的中点，
为
边上一点，且
，将
沿
折到
的位置，使平面
平面
.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

20. 已知椭圆
的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若
是椭圆
的左顶点，经过左焦点
的直线
与椭圆
交于
，
两点，求
与
的面积之差的绝对值的最大值.（
为坐标原点）

21. （本小题满分12分）

设函数
，
.

（Ⅰ）当
，
时，设
，求证：对任意的
，
；

（Ⅱ）当
时，若对任意
，不等式
恒成立.求实数
的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，
为
的切线，切点为
，割线
过圆心
，且
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
,求
的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知圆
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数）．若直线
与圆
相交于不同的两点
，
．

（Ⅰ）写出圆
的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；

（Ⅱ）若弦长
，求直线
的斜率．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设
．

（Ⅰ）求
的解集
；

（Ⅱ）当
时，求证：
．

数学（理科）·答案 A卷

一、选择题

1.C 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B 10.A 11.D 12.D

二、填空题

13. 88 14.
或
（错解漏解均不得分） 15.③ 16.2

三、解答题

17.【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式、等差中项、数列的前
项和，以及逻辑思维能力，运算求解能力、方程的思想及裂项法的应用.

【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为
，由题意知
，且
，

∴
，解得
，故
.……………………………………………………（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），得
，所以
.………………………………………………（7分）

∴
，……………………………………………………………（8分）

故数列
的前
项和为

.……………………………………………………………………………（12分）

【方法点拨】（1）求关于等比数列的基本运算通常转化为关于首项
与公比
的方程（组）来求解；（2）裂项法适用于求通项形如
（
为等差数列）的数列的前
项和.

18.【命题意图】本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列和数学期望.考查学生的识图能力、数据分析能力、运算能力.

【解析】（Ⅰ）
.………………………………………………（3分）

所以
的分布列为：

…………………………………………………………………………………………………………………（11分）

所以
.……………………………………………………………（12分）

【归纳总结】（1）涉及频率分布直方图问题通常要利用其性质：①所有小矩形的面积和为1；②每组频率=对应矩形面积；（2）求离散型随机变量的分布列和数学期望，首先要根据条件确定随机变量
的所有可能取值.并求出相应概率，列出概率分布表，然后利用期望公式计算.

19.【命题意图】本题考查空间直线、平面间的垂直与平行关系，二面角，空间向量的应用，并考查空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力.

【解析】（Ⅰ）因为
，
为等边
的
，
边的中点，

所以
是等边三角形，且
.

因为
是
的中点，所以
.…………………………………………………………………（1分）

又由于平面
平面
，
平面
，所以
平面
.…………………（2分）

又
平面
，所以
.…………………………………………………………………（3分）

因为
，所以
，所以
.……………………………………^……………（4分）

在正
中知
，所以
.

而
，所以
平面
.……………………………………………………………（5分）

又因为