2017届福州外国语学校高三适应性考试（一）

数学（文）试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．．已知全集
，集合
，则CuM（　　）

A．
B．

C．
D．

2．设
是虚数单位，则
是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设命题
和
，在下列结论中，正确的是（ ）

①
为真是
为真的充分不必要条件；

②
为假是
为真的充分不必要条件；

③
为真是
为假的必要不充分条件；

④
为真是
为假的必要不充分条件.

①② B. ②④ C.①③ D. ③④

4．已知数列
是等差数列，数列
的前
项和为
，

已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的结果为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知
， 则
的值为 （ ）

A、
B、
C、
D、

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
　 B．
C．16 D．32

8．已知点P是抛物线
上的一个动点，则点P到点A(0, 2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为(　　)

A．2 B．1 C．
D．

9．已知m>1，在约束条件
下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知等差数列
的公差
，且
，
，
成等比数列，若
，
为数列
的前
项和，则
的最小值为（ ）

A．3 B．4 C．
D．

11．已知双曲线以锐角△ABC的顶点B、C为焦点，经过点A，若△ABC内角的对边分别为a、b、c，且a=2，b=3，
，则此双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

12．关于函数
，下列说法错误的是（ ）

A．
是
的极小值点

B．函数
有且只有1个零点

C．存在正实数
，使得
恒成立

D．对任意两个正实数
，且
，若
，则

二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．已知平面向量
,
满足
，且
,
,则向量
与
夹角的正切值为___________.

14．点
，则
的概率__________.

15．在一组样本数据
的散点图中，若所有样本点

都在曲线
附近波动．经计算
，
，
，则实数
的值为 ．

16．已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切，则a=

三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17、（本小题满分12分）

在△ABC中,角
,
,
所对的边分别为
,
,c.已知
，
且
；

（Ⅰ）求角
的大小;

（Ⅱ）设
,求T的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在
之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在
，
的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在
内的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，
，

，
为
的中点，
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积．

20．（本题满分12分）

已知
为椭圆
：
的左、右焦点，过椭圆右焦点F2斜率为
（
）的直线
与椭圆
相交于
两点，
的周长为8，且椭圆C与圆
相切。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
，求证
为定值．

21．（本小题满分12分）

设函数
．

（1）若
在
处的切线与直线
平行，求
的值；

（2）讨论函数
的单调区间；

（3）若函数
的图象与
轴交于
两点，线段
中点的横坐标为
，

求证：
．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，AB是圆O的直径，C、F是圆O上的两点，OC⊥AB，

过点F作圆O的切线FD交AB于点D. 连接CF交AB于点E.

（1）求证：DF=DE；

（2）若DB=2，DF=4，求圆O的面积.

23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线
的方程为
，点
.

（1）求曲线
的直角坐标方程和点
的直角坐标；

（2）设
为曲线
上一动点，以
为对角线的矩形
的一边平行于极轴，

求矩形
周长的最小值及此时点
的直角坐标.

24. （本题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】

已知函数

（1）解不等式：
　

（2）若
，求证：

2017届福州外国语学校高三适应性考试（一）

数学（文）试卷答案

题号



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



B

B

C

A

C

D

A

D

A

B

D

C



13、
14、
15、
16、8

17、解：（1）
,……1分

因为
,所以
, ……2分

所以
,……4分

因为
,所以
,因为
,所以
;……6分

（Ⅱ）
……7分

……8分

……9分

因为
,所以
,故
,……10分

因此
,所以
……12分

18. 解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量
， ……2分

， ……4分

． ……6分

（Ⅱ）由题意可知，分数在
内的学生有5人，记这5人分别为
，分数在
内的学生有2人，记这2人分别为
，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为:

. ……8分

其中2名同学的分数恰有一人在
内的情况有10种， ……10分

∴ 所抽取的2名学生中恰有一人得分在
内的概率
．……12分

19. 解：（Ⅰ）取
中点为
，连结
，
．

因为
，所以
．

又
，
，

所以
平面
，

因为
平面
，所以
．…3分

由已知，
，又
，

所以
，因为
，

所以
平面
．又
平面
，

所以平面
平面
． ………………6分

（Ⅱ）三棱锥
的体积=三棱锥
的体积

由（Ⅰ）知，平面
平面
,平面
平面
,

,
平面

所以
,即
,

即点
到
的距离,
…………………………9分

………………………… 11分

所以
………………………… 12分

20. 解：（Ⅰ）由题意得
………3分

所求椭圆C的方程为
． …………………… 4分

（Ⅱ）设过点
的直线
方程为：
，

设点
，点
………5分

将直线
方程
代入椭圆

整理得：
……… 6分

因为点
在椭圆内，所以直线
和椭圆都相交，
恒成立，

且

………7分

直线
的方程为：
，直线
的方程为：

令
，得点
，
，

所以点
的坐标
……… 8分

直线
的斜率为

……… 10分

将
代入上式得：

所以
为定值
. ……………………………………12分

21. 解：（1）由题知
的定义域为
，且
．

又∵
的图象在
处的切线与直线
平行，

∴
，即
解得
………3分

（2）
，由
，知
>0．

①当
时，对任意
，
在
上单调递增。

②当
时，令
，解得
，

当
时，
，当
时，
，

此时，
的单调递增区间为
，递减区间为
…… 7分

（3）不妨设
，且
，由（2）知
，则

要证
成立，只需证：
即
．

∵
，
，

两式相减得：
，

即
，

∴
，故只需证
，

即证明