2017届福州外国语学校高三适应性考试（一）

数学（理）试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

2. 已知
，i为虚数单位，若
，则m =

A．1 B．
C．
D．

已知向量
，其中
，且
，则向量
的夹角是（ ）.

A.
B.
C.
D.

4．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（　　）A．
B．
C．
D．

5．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为
，后因某未知原因第5组数据的
值模糊不清，此位置数据记为
（如下表所示），则利用回归方程可求得实数
的值为（ ）

196

197

200

203

204





1

3

6

7







A、
B、
C、
D、

6．如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的
=3，则输入的
，
分别可能为 ( )

A．15、18 B．14、18

C．13、18 D．12、18

7．
位男生和
位女生共
位同学站成一排，则
位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数

的图象的一个对称中心为
, 则函数
的单调递减区间是（ ）

A．
Z
B．
Z

C．
Z
D．
Z

9．已知实数
、
满足条件
，若目标函数
的最小值为5，则
的值为(　　)

A．﹣2　　　　 B．﹣17　　 C．2　　　 D．17

10．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图的轮廓是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（　　）

A．2
B．4 C．2
D．2

11．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1做圆
的切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，且｜BC｜＝｜CF2｜，则双曲线的渐近线方程为（　　）

A．y＝±3x B．y＝
x C．y＝±（
＋1）x D．y＝

12. 设函数
的定义域为R ,
, 当
时,

, 则函数
在区间
上的所有零点的和为（ ）.

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．若
的展开式中存在常数项，则常数项为 ．

14．已知中心在坐标原点的椭圆
的右焦点为
，点
关于直线
的对称点

在椭圆
上，则椭圆
的方程为 .

15. 设正三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
，
分别是
的中点，
，则球
的半径为 .

16.已知数列
满足
且
是递减数列，
是递增数列，则
_____ ___.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

中，角A,B,C的对边分别为
，且

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若BD为AC边上的中线，
，BD=
，求△ABC的面积

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中
，底面ABCD为边长为
的正方形，

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若E,F分别为PC,AB的中点，
平面

求直线PB与平面PCD所成角的大小.

19．(本小题满分12分)

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n. 如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为
，且各件产品是否为优质品相互独立．

（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为
(单位：元)，求
的分布列．

20.（本小题满分
分）

已知点
，点
是直线
上的动点，过
作直线
，
，线段
的垂直平分线与
交于点
.

(Ⅰ)求点
的轨迹
的方程；

(Ⅱ)若点
是直线
上两个不同的点, 且△
的内切圆方程为
，直线
的斜率为
，求
的取值范围.

21．(本小题满分12分)

设函数

+

，其中
.

(Ⅰ)讨论函数
极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若
,
成立，求
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22。（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，△
内接于⊙
，直线
与⊙
相切于点
，交
的延长线于点
，过点
作
交
的延长线于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若直线
与⊙
相切于点
，且
，
，

求线段
的长．

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数

．

（I）当
时，求
的解集；

（II）若
的解集包含集合
，求实数
的取值范围．

 2017届福州外国语学校高三适应性考试（一）

数学（理）试卷参考答案

一、选择题：CBBCD; ABDAC； CA

二、填空题：13． 84 14．
15．
16．

三、解答题:

17．（本题满分12分）

解: (1)
,

由正弦定理，得
,--------------2分

……………………3分

因为
，所以
，所以
,

因为
，所以
.-----------5分

（2）法一：在三角形
中，由余弦定理得

所以
……（1）…………………7分

在三角形
中，由正弦定理得
，

由已知得

所以


，…………………9分

所以
……（2）………………………10分

由（1），（2）解得

所以
……………………12分

法二： 延长
到
,
,连接
,

中，
,

因为
，

(1)- -----------7分

由已知得，
所以
,…………………9分

(2)----------10分

由（1）（2）解得
,

----------12分

18. 解:（1）连接
，
，
，
交于点
，

因为底面
是正方形，

所以
且
为
的中点.

又

所以
平面
， -------------2分

由于
平面
,故

.

又
,故
. ---------------4分

（2）设
的中点为
,连接
,

,

所以
为平行四边形，
∥
，

因为
平面
，

所以
平面
，…………………5分

所以
,
的中点为
,

所以
.

由
平面
，又可得
，

又
，又

所以
平面

所以
,又
,

所以
平面
……………………7分

（注意：没有证明出
平面
，直接运用这一结论的，后续过程不给分）

由题意,
两两垂直， ,以
为坐标原点,向量
的方向为
轴
轴
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
,

则

…………………9分

为平面
的一个法向量.

设直线
与平面
所成角为
，

……………………11分

所以直线
与平面
所成角为
.…………12分

…………………10分

所以X的分布列为：

X

1000

1200

1400



P









…………………12分

20.解析： (Ⅰ)解:依题意,点
到点
的距离等于它到直线
的距离,………1分

∴点
的轨迹是以点
为焦点，直线

为准线的抛物线. …………2分

∴曲线
的方程为
. …………………………………3分

(Ⅱ)解法1：设点

，点
，点
，

直线
方程为：
， ………………………4分

化简得，
.

∵△
的内切圆方程为
，

∴圆心
到直线
的距离为
，即
. ………5分

故
.

易知
，上式化简得，
.………………6分

同理，有
. ………………………………7分

∴
是关于
的方程
的两根.