遵义市第四中学2017届高三第二月考

理科数学试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．计算
的结果是

Ａ．
B．2 C．
D．3

2．已知随机变量
服从正态分布
，且
，则

Ａ．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84

当
时,函数
的图象恒过定点A，若点A在直线
上，则
的最小值是

Ａ．4 B．
C．
D．2

4．对具有线性相关关系的变量
，测得一组数据如下：

1

2

 3

4





4.5

4

3

2.5



根据上表，利用最小二乘法得到它的回归直线方程为

Ａ．
B．

C．
D．

5.如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的
=3，则输入的
，
分别可能为

Ａ．15、18 B．14、18

C．12、18 D．13、18

6．已知
是双曲线
：
的一个焦点，则点
到
的一条渐近线的距离为

.

.3
.

.

7．设函数
，若
是奇函数，则
的值是

A．
B．
C．
D．

8．一个四面体共一个顶点的三条棱两两相互垂直，其长分别为
，且四面体的四个顶点在一个球面上．则这个球的表面积为

A．16
B．32
C．36
D.64

9.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为 （　　）

A．
B．
C．
D．

10．设曲线
在点(0,0)处的切线方程为
，则

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11．将函数
的图像上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,再向右平行移动
个单位长度得函数
图像，则以下说法正确的是

A. 函数
在区间
上单调递增

B. 函数
与
的最小正周期均为

C.函数
在区间
上的最大值为

D. 函数
的对称中心为

12. 设函数
的定义域为R ,
, 当
时,

, 则函数
在区间
上的所有零点的和为 A．
B．
C．
D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知
，
，且
，则
的值为 .

14.若
的展开式中存在常数项，则常数项为 （用数作答）．

15.若变量
满足约束条件
，且
的最小值为
，则
.

16.在平面直角坐标系中,
为原点,
动点
满足
=1，则
的最大值是________.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）设数列
的前
项和
，数列
满足
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.

（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;

（2）
表示所取3张卡片上的数字的中位数，求
的分布列（注：若三个数
满足
，则称
为这三个数的中位数）.

19.（本小题满分12分）四面体
及其三视图如图所示，过棱
的中点
作平行于
，
的平面分别交四面体的棱
于点
.

（I）证明：四边形
是矩形；

（II）求直线
与平面
夹角
的正弦值.

20.（本小题满分12分）已知动点
到点
的距离等于它到直线
的距离

(Ⅰ)求点
的轨迹
的方程；

(Ⅱ)若点
是直线
上两个不同的点, 且△
的内切圆方程为
，直线
的斜率为
，求
的取值范围.

21．设函数
，其中
为正实数．

（Ⅰ）若
在
上是单调减函数，且
在
上有最小值，求
的取值范围；

（Ⅱ）若函数
与
都没有零点，求
的取值范围．

请考生在22、23、题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.【坐标系与参数方程】在平面直角坐标系
中，设倾斜角为
的直线
的参数方程为
（
为参数）．以原点为极点，
轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为

（Ⅰ）若
，求线段
中点
直角坐标；

（Ⅱ）若点
,其中
，求直线
的斜率。

23． 【选修4-5：不等式选讲】已知函数
。

解不等式：
；

(2)当

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

A

B

D

C

A

D

A

C

D

D

B



 遵义市第四中学2017届高三第二月考理科数学答案

13.
14. 84 15. -2 16.

17.．解：（1）
时，
， 2分

，∴

∴

，

∴数列
的通项公式为：
． 6分

( 2 )
12分

18.（1）

19.

（II）

X的分布列如下：

x

1

2

3



p









20.解析： (Ⅰ)解:依题意,点
到点
的距离等于它到直线
的距离,………1分

∴点
的轨迹是以点
为焦点，直线

为准线的抛物线. …2分

∴曲线
的方程为
. …………3分

(Ⅱ)解法1：设点

，点
，点
，

直线
方程为：
， ………4分

化简得，
.

∵△
的内切圆方程为
，

∴圆心
到直线
的距离为
，即
. ………5分

故
.

易知
，上式化简得，
.………………6分

同理，有
. ………………………………7分

∴
是关于
的方程
的两根.

∴
，
. ………………………………8分

∴
.……………9分

∵
，
，

∴

.

直线
的斜率
，则
.

∴
. ………………………………10分

∵函数
在
上单调递增， ∴
.

∴
. ∴
. …………11分

∴
. ∴
的取值范围为
. ………………12分

21．（Ⅰ）
，∵
时，
；
时，
，

∴
在
上是增函数，在
上是减函数，又
在
上是减函数，∴
．又
，∴
时，
；
时，
，

∴
时，
最小，∴
时，∴
，∴
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
时，
取得最大值，
，
取得最小值，

由题意可得
且
，
∴
即
．

23.解：解：（Ⅰ）∵g（x）=﹣|x+2|+3，g（x）≥﹣2，∴|x+2|≤5，∴﹣5≤x+2≤5，解得﹣7≤x≤3，∴不等式g（x）≥﹣2的解集为{x|﹣7≤x≤3}．

（Ⅱ）∵f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3，∴f（x）﹣g（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，

设h（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，

则h（x）=
，∴
．

∵当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，

∴
，解得
，

所以，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣
]．

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