东北育才学校高中部2017届高三第一次模拟

数学试题（理科）

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.

1.已知集合
，
，则

A.
B．
C．
D．

2.复数
等于

　A．
B．
C．
D．

3.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出
的值是
，

则输入的整数
的可能值为

A.5 B.6 C.8 D.15

已知直线
,且
于
,
为坐标原点,

则点
的轨迹方程为

A．
B．
C．
D．

5.函数
在点
处的切线方程是

A.
B.
C.
D.

6.“等式
成立”是“
成等差数列”的

　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

　C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

7.在各项均为正数的等比数列
中，
，
成等差数列，
是数列
的前
项的和，则

A.1008 B.2016 C.2032 D.4032

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是

A．
B．

C．
D．

9.半径为
的球面上有
四点，
两两互相垂直，则
面积之和的最大值为

A．8 B．16 C．32 D.64

10.设等差数列
的前
项和为
，若
，则
中最大的是

A．
B．
C．
D．

11.已知函数
（其中
），
，且函数
的两个极值点为
．设
，则

A．
B．

C．
D．

12.设双曲线
的右焦点为
，过点
作
轴的垂线交两渐近线于点
两点，且与双曲线在第一象限的交点为
，设
为坐标原点，若
，
，则双曲线的离心率为（　　）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.若
是数列
的前
项的和，且
，则数列
的最大项的值为___________.

14.设
,则二项式
展开式中的第
项为___________.

15. 已知正方形
的边长为
，点
为
的中点．以
为圆心，
为半径，作弧交
于点
，若
为劣弧
上的动点，则
的最小值为___________.

16.已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围_________.

解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）

已知函数

（I）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）求使函数
取得最大值的
的集合．

18.（本小题满分12分）

　 如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，

点
分别为
和
中点.

(Ⅰ)求证：直线
；

(Ⅱ)求
与平面
所成角的正弦值.

（本小题满分12分）

某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．

（I）若治安满意度不低于
分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；

（II）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记
表示抽到“极安全”的人数，求
的分布列及数学期望．

20.（本小题满分12分）

如图，已知直线
过椭圆
的右焦点
，抛物线：
的焦点为椭圆
的上顶点，且直线
交椭圆
于
两点，点
在直线
上的射影依次为点
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
交
轴于点
，且
，当
变化时，探求
的值是否为定值？若是，求出
的值，否则，说明理由.

（本小题满分12分）

设
和
是函数
的两个极值点,其中

,
.

(Ⅰ) 求
的取值范围;

(Ⅱ) 若
,求
的最大值.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，已知⊙
的半径长为4，两条弦
相交于点
，若
，
，
为
的中点，
.

(Ⅰ) 求证：
平分
；

(Ⅱ)求
的度数.

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（其中
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

(Ⅰ) 分别写出曲线
与曲线
的普通方程；

(Ⅱ)若曲线
与曲线
交于
两点，求线段
的长.

24.（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲

已知函数
.

(Ⅰ)求不等式
的解集；

(Ⅱ)若函数
的最小值为
，且
，求
的最小值.

东北育才高中部第三次模拟数学（理科）答案

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.C 2.D 3.C 4.A5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.12 14.
15.
16.[﹣1，1]

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)

= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1

=2sin[2(x－)－]+1

= 2sin(2x－) +1

∴ T==π

(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1,

有 2x－ =2kπ+

即x=kπ+  (k∈Z)

∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+  , (k∈Z)}.

18.解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.

∵点F为PD中点，∴
. …………2分

∵
，∴
，

∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM， ……4分

∵
，

∴直线AF
平面PEC. 　　　　 　……………6分

(Ⅱ)
，
.

如图所示，建立坐标系，则

P(0,0,1),C(0,1,0),E(
,0,0),

A(
，
，0)，
，

∴
，
. …8分

设平面PAB的一个法向量为
.

∵
，
，∴
，取
，则
，

∴平面PAB的一个法向量为
. …………………………10分

设向量
∵
，

∴
，

∴PC平面PAB所成角的正弦值为
.　 　.…………………………12分

20.解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，

抛物线
的焦点坐标
，∴
∴b2=3

∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程

（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于
，

设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）

由

∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0

∴

又由

∴

同理

∴

∵

∴

所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值
；

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）

方法1）∵

当
时，
=

=

∴点
在直线lAE上，

同理可证，点
也在直线lBD上；

∴当m变化时，AE与BD相交于定点

方法2）∵

=

∴kEN=kAN∴A、N、E三点共线，

同理可得B、N、D也三点共线；

∴当m变化时，AE与BD相交于定点
．

解:函数
的定义域为
,
.

依题意,方程
有两个不等的正根
,
(其中
).故

,

并且
.

所以,

故
的取值范围是

(Ⅱ)解:当
时,
.若设
,则

.

于是有

构造函数
(其中
),则

.

所以
在
上单调递减,
.

故
的最大值是

22.（本小题满分10分）

解：（1）由
为
的中点，
得

又

∽

又

故
平分
………………5分

（2）连接
，由点
是弧
的中点，则
，

设垂足为点
，则点
为弦
的中点，

连接
，则
，
，