重庆市第八中学2017届高三上学期第一次适应性考试

文科数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设命题
，则
为（ ）

A．
B．

C．
D．

3.已知函数
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．-1 D．1

4.若曲线
在点
处的切线与
平行，则
（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

5. 在
中，角
的对边分别是
，已知
，则
，则
的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.执行如图1所示的程序框图，输出的结果为（ ）

A．1 B．
C．
D．

7.
分别为正方形
的边
和
的中点，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知定义在
上的函数
满足：①当
时，函数
为增函数，
；②函数
的图象关于点
对称，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
，直线
是它的一条对称轴，且
是离该轴最近的一个对称中心，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知双曲线
的右焦点
为坐标原点，以
为圆心，
为半径的圆与该双曲线的交点的横坐标为
，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．2 D．

12.已知函数
，且
，则当
时，
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设复数
满足
，则
____________．

14.函数
的图象向右平移
个单位后与
的图象重合，则
_________．

15.已知非零向量
的夹角为60°，且
，则
____________．

16.已知函数
，若当
时，
取得极小值，则
___________．

三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知
分别是
内角
的对边，
．

（1）若
，求
；

（2）若
，且
，求
的面积．

18.（本小题满分12分）

某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．

（1）求当天的利润
（单位：元）关于当天需求量
（单位：个，
）的函数解析式；　

（2）求当天的利润不低于750元的概率．

19.（本小题满分12分）

如图4，在几何体
中，四边形
是正方形，正三角形
的边长为2，
为线段
上一点，
为线段
的中点．

（1）求证：平面
平面
；

（2）求三棱锥
的体积．

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
过点
，且离心率为
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若点
与点
均在椭圆
上，且
关于原点对称，问：椭圆上是否存在点
（点
在一象限），使得
为等边三角形？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，点
分别在
的图象上．

（1）若函数
在
处的切线恰好与
相切，求
的值；

（2）若点
的横坐标均为
，记
，当
时，函数
取得极大值，求
的范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图5，在
中，
，以
为直径的圆交
于点
，过点
作圆
的切线交
于点
．

（1）求证：
；（2）若
，求
的大小．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆
上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线
．

（1）写出曲线
的参数方程；

（2）以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线
的极坐标方程为
，若
分别为曲线
和直线
上的一点，求
的最近距离．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．（1）当
时，求不等式
的解集；（2）若不等式
，在
上恒成立，求
的取值范围．

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

A

C

B

A

B

D

D

B

D

C



二、填空题

题号

13

14

15

16



答案











三、解答题

17.解：（1）
①，

又
②，

由①②知
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由（1）知：
③，

18. 解：（1）当
时，
；

当
时，
．

得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

（2）设当天的利润不低于750元为事件
，由（2）得“利润不低于
元”等价于“需求量不低于16个”，则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.（1）证明：由题意
，所以
，所以
①，

又因为四边形
是正方形，所以
② ，

由①②得
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

又因为
平面
，平面
平面
，

所以平面
平面
．

（2）解：过
作
于
，

由（1）可知
平面
，
，

由题意
，

所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.解：（1）由题意
，解得
，

所以椭圆
的标准方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由题意知直线
经过坐标原点
，假设存在符合条件的点
，则直线
的斜率存在且大于零，
①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

设直线
的斜率为
，则直线
，

联立方程组
，得
，

所以
②，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

同理可得直线
的方程为
③．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

将②③代入①式得
，

化简得
，所以
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

所以
，

综上所述，存在符合条件的点
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21.（1）解：
，

∴在
即切点为
处的切线斜率
，

即切线为
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴联立
，得
，

由相切得
，

解得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）
，

∴
，

∴
，

由
取得极值，则
或
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴
，令
，该函数在
上单调递增，

∴存在唯一的
，使得
，

①若
，则



0











-

0

+

0

-





递减

极小

递增

极大

递减



此时
时为极小值；

②若
，则