重庆市第八中学2017届高三上学期第一次适应性考试

理科数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知向量
，且
，则
（ ）

A．
B．
C．-8 D．8

3.设命题
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知等差数列
的前
项为
，且
，则使得
取最小值时的
为（ ）

A．1 B．6 C．7 D．6或7

5.已知实数
，则
的大小关系为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.若
，则
的值为（ ）

A．
B．1 C．
D．

7.
中，角
的对边分别是
，已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知数列
的前
项和为
，且满足
，若
，则
的前2017项的积为（ ）

A．1 B．2 C．-6 D．-586

9.记
表示不超过
的最大整数，如
．设函数
，若方程
有且仅有3个实数根，则正实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.如图1，圆
的半径为1，
是圆上的定点，
是圆上的动点，角
的始边为射线
，终边为射线
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，将点
到直线
的距离与
到
的距离之和表示成
的函数
，则
在
上的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 设函数
且
，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.设函数
（其中
为自然对数的底数）恰有两个极值点
，则下列说法不正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知
为等比数列，且
成等比数列，则
的值为____________．

14.已知
为单位向量，其夹角为60°，则
_________．

15.设点
为函数
图象上任一点，且
在点
处的切线的倾斜角为
，则
的取值范围为____________．

16.已知函数
，且
在
上单调递减，则
___________．

三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，且数列
的前
项和为
，求证：
．

18.（本小题满分12分）

如图2，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
底面
，
是
上的点．

（1）求证：
平面
；

（2）设
，若
是
的中点，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求二面角
的余弦值．

19.（本小题满分12分）

某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．

（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，①求当天的利润
（单位：元）关于当天需求量
（单位：个，
）的函数解析式；②在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率．　

（2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决定依据，判断应该制作16个是17个？

20.（本小题满分12分）

设椭圆
的方程为
，
为坐标原点，直线
与椭圆
交于点
为线段
的中点．

（1）若
分别为
的左顶点和上顶点，且
的斜率为
，求
的标准方程；

（2）若
，且
，求
面积的最大值．

21.（本小题满分12分）

设函数
．

（1）若函数
在定义域内单调递减，求
的取值范围；

（2）设
，证明：
（
为自然对数的底数）．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图4，在
中，
，以
为直径的圆交
于点
，过点
作圆
的切线交
于点
．

（1）求证：
；（2）若
，求
的大小．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆
上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线
．

（1）写出曲线
的参数方程；

（2）以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线
的极坐标方程为
，若
分别为曲线
和直线
上的一点，求
的最近距离．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．（1）当
时，求不等式
的解集；（2）若不等式
，在
上恒成立，求
的取值范围．

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

C

B

A

D

C

B

B

B

C

D



二、填空题

题号

13

14

15

16



答案

4





1



三、解答题

（2）证明：由（1）知
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴
．．．．．．．．．．　10分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

18.（1）证明：∵
平面
平面
，

∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

由题意知
，

∴
，∴
，

∴
，又
，

∴
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）解：以
为原点，建立空间直角坐标系如图3所示，

则
，设
，

则
，

设
为平面
的法向量，则
，

即
，取
，则
．

设直线
与平面
所成角为
，

依题意，
，

则
或
（舍），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

由（1）知
，

∴
平面
，

∴
为平面
的法向量，

当
时，
，

易得二面角
为锐角，所以其余弦值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.解：（1）①当
时，
；

当
时，
．

得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

②设当天的利润不低于750元为事件
，设当天需求量不低于18个为事件
，由①得“利润不低于
元”等价于“需求量不低于16个”，则
，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：

若蛋糕店一天制作17个，
表示当天的利润（单位：元），
的分布列为

550

650

750

850





0.1

0.2

0.16

0.54




．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

若蛋糕店一天制作16个，
表示当天的利润（单位：元），
的分布列为

600

700

800





0.1

0.2

0.7




，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

由以上的计算结果可以看出，
，即一天制作17个的利润大于制作16个的利润，

所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.解：（1）设
，

则
，两式相减，得
，．．．．．．．．．．．．．2分

即
，又
，

代入化简，得
，故
的标准方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）设直线
，

由方程组
①

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

，

②，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．