汕头市金山中学2012～2013学年度第二学期期中考试

高一数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．在等差数列
中，
，
则
的前5项和
=（　 ）

A.7 B.15 C.20 D.25 2．若
, 那么ΔABC是（ ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

3．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为
，
，则A、B两点的距离为（ ）

A.
B.
C.
D.
4.
的内角A、B、C的对边分别为
，若
成等比数列，且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5.已知非零实数，
满足
，则下列不等式成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．设数列
满足：
,且前项和为
，则
的值为（ ）

A.
B.
C. 4 D. 2

7．已知等差数列
的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为
，则这个数列的项数为（ ）

A． 19 B． 20 C． 21 D． 22

8．若函数
图像上存在点
满足约束条件http://www. .com/
，则实数的最大值为（ ）

A．
B.1 C.
D.2

9．已知
，把数列
的各项排列成如右图的三角形状， 记
表示第行的第个数，则
= （ ）

A.
B.
C.
D.

10．设等差数列
的前项和为
且满足
则
中最大的项为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

11．若不等式
的解集是
，则
.

12．设正项等比数列
的前项和为
，若
，则
.

13．若
，其中实数
满足不等式组
，则
的最小值是 .

14．已知数列
，且
，则
______.

15.在
中，
依次成等比数列，则的取值范围是 .

16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作
，第2个五角形数记作
，第3个五角形数记作
，第4个五角形数记作
，…，若按此规律继续下去，则
，
．

三、解答题：本大题共5小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分14分）

解关于的不等式：

18．（本小题满分14分）

已知函数
，在
中，
，且
的面积为
，

（1）求
的值；（2）求
的值.

19．（本小题满分14分）

某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩

年种植成本/亩

每吨售价



黄瓜

4吨

1.2万元

0.55万元



韭菜

6吨

0.9万元

0.3万元



为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入—总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为多少亩？

20．（本小题满分14分）

已知数列
的前项和为
，且
，，

成等差数列.

（1）求
，
的值；（2）求数列
的通项公式；

（3）若数列
的前项和为
，且满足

，证明：
．

21．（本小题满分14分）

已知数列
是各项均不为
的等差数列，公差为，
为其前项和，且满足
，
．数列
满足
，
为数列
的前项和．

（1）求
、
和
；

（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）是否存在正整数

，使得
成等比数列？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由．

汕头市金山中学2012-2013学年度第二学期期中考试高一数学试题答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

BCBCD ABBAD

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

11．
12．9 13． 5 14．
15．
16． 35 ，
（2分+3分）

三、解答题：本大题共5小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．解：当
时，原不等式可化为
，………2分

当
时，令
，得
或

若
，即
时，由
得
………4分

若
，即
时，由
得
………6分

若
，即
时，由
得
………8分

综上所述：

当
时，原不等式的解集是：
………10分

当
时，原不等式的解集是：
………12分

当
时，原不等式的解集是：
………14分

18．解：（1）

=
………3分

由
，得
，得，

∵
，∴

∴
∴
………7分

（2）由（1）知
，又∵

∴
∴
………9分

由余弦定理得

∴
∴
………11分

由正弦定理得
………12分

∴
………14分

19．解：设黄瓜的种植面积为亩，韭菜的种植面积为亩，………2分

则有题意知
，即
，

………6分

目标函数

，

………8分

作出可行域如图,由图象可知当直线经过点E时，直线
的截距最大，………10分

此时取得最大值，………11分，由
，解得
………13分

答：黄瓜的种植面积为
亩，韭菜的种植面积为
亩. ………14分

20.解： (1）∵
，，
成等差数列，∴
，

∴令
，解得
；令
，解得
…………2分

（2）由
，

当
时，由
，可得
………4分

即
……………5分 又
即
，

∴
是以
为首项，
为公比的等比数列，………6分

∴
…7分

（3）∵
………8分

，

………10分

，………12分

∴

………13分

∵
，∴
． ………14分

21．解：（1）在
中，令
，
，得
即
解得
，
，
．………3分

，

． ………6分

（2）①当为偶数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．

∵函数
在
递减，在
递增

∴当
时，
取得最小值25．此时
需满足
． ………8分

②当为奇数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．

是随的增大而增大，
时
取得最小值
．

此时
需满足
．

综合①、②可得
的取值范围是
． ………10分

（3）
，

若
成等比数列，则
，即
．…11分

又
，且
，所以
，此时
．

因此，当且仅当
，
时，数列
中的
成等比数列．………14分