金乡一中2012—2013学年高一4月质量检测

数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．在等差数列
中，
，
则
的前5项和
=（　 ）

A.7 B.15 C.20 D.25

2．若
, 那么ΔABC是（ ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

3．若
,则不等式成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．若
（ ）

A．0 B．1 C．2 D．不能确定

5. 若
，
，则
与
的大小关系为　（ ）

A．
B．
C．
D．随x值变化而变化

6．设数列
满足：
,且前
项和为
，则
的值为（ ）

A.
B.
C. 4 D. 2

7．已知等差数列
的公差为
，项数是偶数，所有奇数项之和为
，所有偶数项之和为
，则这个数列的项数为（ ）

A． 19 B． 20 C． 21 D． 22

8．右图给出了一个“三角形数阵”。已知每一列数成等差数列，

从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，

记第
行第
列的数为
（
），则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．下列哪个函数的最小值为3（ ）

A．
B．

C．
D．

10． 已知数列
的前n项和
则
（ ）

A.一定是等差数列 　 B.一定是等比数列

C.或是等差数列,或是等比数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列

11．一个等比数列前11项和为10，前33项和为70.则前22项和为（ ）

A.30 B.410 C.30或410 D. 30或－20

12．已知等差数列
的前
项和为
,则数列
的前100项和为( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．若
，其中实数
满足不等式组
，则
的最小值是 .

14．已知数列
，且
，则
______.

15.在
中，
依次成等比数列，则
的取值范围是 .

16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作
，第2个五角形数记作
，第3个五角形数记作
，第4个五角形数记作
，…，若按此规律继续下去，则
，
．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．(本小题满分10分)

已知数列{
}为递增的等比数列，其中

。

（1）求数列{
}的通项公式；

（2）若
，求数列{
}的前
项和

18．（本小题满分12分）

已知函数
，在
中，
，且
的面积为
，

（1）求
的值；（2）求
的值.

19．(本小题满分12分)

已知等差数列{
}各项都不相同，前3项和为18，且
、
、
成等比数列

（1）求数列{
}的通项公式；

(2) 若数列
求数列
。

20. (本小题满分12分）

若关于
的一元二次不等式
的解集为
或
，求关于
的不等式
的解集.

21.(本小题满分12分）

如图，A，B是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距
海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

22．（本小题满分12分）

已知数列
是各项均不为
的等差数列，公差为
，
为其前
项和，且满足
，
．数列
满足
，
为数列
的前
项和．

（1）求
、
和
；

（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）是否存在正整数

，使得
成等比数列？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1-5 BCCAA 6-10 ABCD B 11-12 DA

13． 5 14．
15．
16． 35 ，

17.（1）设等比数列的公比为

又由已知

可得
，解得

由已知，数列为递增数列，所以可知

即

（2）∵
所以

即数列{
}的前
项和
为

18．解：（1）

=

由
，得
，得，

∵
，∴

∴
∴

（2）由（1）知
，又∵

∴
∴

由余弦定理得

∴
∴

由正弦定理得
………12分

∴

19.（1）依题意

设公差为

由已知可得

解得

∴

（2）由已知

∴

所以可知

又

所以可知当

∴
所以

20.解：由题意知
代入不等式
中得

∴所求不等式的解集为

21.解:由题意知AB＝5(3＋)(海里)，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.

在△DAB中，由正弦定理得＝，

∴DB＝＝

＝＝＝10(海里)，

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋30°＝60°，BC＝20 海里，

在△DBC中，由余弦定理得

CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝3000＋1 200－2×10×20×＝900，

∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．

∴该救援船到达D点需要1小时．

22．解：（1）在
中，令
，
，得
即
解得
，
，
．

，

．

（2）①当
为偶数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．

∵函数
在
递减，在
递增

∴当
时，
取得最小值25．
此时
需满足
． 分

②当
为奇数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．

是随
的增大而增大，
时
取得最小值
．

此时
需满足
．

综合①、②可得
的取值范围是
．

（3）
，

若
成等比数列，则
，即
．

又
，且
，所以
，此时
．

因此，当且仅当
，
时，数列
中的
成等比数列．