黄冈中学2012-2013年高一下学期期中考试

数学(文)试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）

1.等差数列
中，已知
，则

2.在
中，已知
，则
的面积为

3.

4.已知
是等比数列，则下列数列中也一定是等比数列的是

（其中
为常数）

（其中
为常数数列）

5.在
中，若
，则
的形状是

等腰三角形
直角三角形

等腰直角三角形
等腰或直角三角形

6.若
，则

7.等比数列的前
项和，前
项和，前
项的和分别为
，则

8. 同步通讯卫星
在赤道上空
（
为地球半径）的轨道上，它每
小时绕地球一周，所以它定位于赤道上某一点的上空。如果此点与某地
（北纬
）在同一条子午线上，则在
观察此卫星的仰角的正切值为

9. 已知正方形
的边长为
，
分别为

边
上的点。设

若
的周长为
，则

10. 下列命题正确的是

①若数列
是等差数列，且
，

则
；

②若
是等差数列
的前
项的和，则
成等差数列；

③若
是等比数列
的前
项的和，则
成等比数列；

④若
是等比数列
的前
项的和，且
；（其中
是非零常数，

），则
为零.

①②
②③
②④
③④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡的相应位置．)

11.
.

12.若三个数
成等差数列，则
.

13.
.

14.在
中，已知
则
.

15.函数
的对称轴方程为
.

16.如图，一艘轮船
在海上以


的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为
的方向航行，此时轮船
的正南方有一座灯塔
.已知


，则轮船
航行
时距离灯塔
最近.

17.观察以下各等式：

，

，

.

分析上述各式的共同特点，请写出一个能反映一般规律的等式 .

三、解答题：(本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

18.（12分）已知
都是锐角，
求
的值.

19.（12分）如图四边形
中，
；

且
，求边
的长.

20. （13分）已知函数
.

⑴求
的最小正周期；

⑵当
时，求
的最大值以及取得最大值时
的集合.

21.（14分） 某地正处于地震带上，预计
年后该地将发生地震.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为

,每年拆除的住房面积相同；新城区计划用十年建成，第一年建设住房面积

，开始几年每年以
的增长率建设新住房，然后从第五年开始，每年都比上一年减少

.

⑴ 若
年后该地新、旧城区的住房总面积正好比目前翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少
？

⑵ 设第

N)年新城区的住房总面积为

，求
.

22.（14分）已知数列
的首项
，
．

⑴求证：数列
为等比数列；

⑵ 记
，若
，求最大的正整数
．

⑶是否存在互不相等的正整数
，使
成等差数列且
成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

数学（文）答案

1.解析：考察等差数列的通项公式
，选
。

2.解析：考察三角形的面积公式
，选
。

3.解析：考察和角的余弦公式，原式
，选
。

4. 解析：考察等比数列定义的理解，
中若
则非等比，选
。

5.解析：考察正弦定理，由
得
，即
，所以
或
，即
或
。选
。

6. 解析：考察诱导公式及倍角公式，
，选
。

7. 解析：考察等比数列的前
项和公式，设
（其中
），则
，

，
，检验知选
。

8. 解析：考察解三角形的知识，

设仰角为
，则
，已知
，
，

由正弦定理
，即
，

即
，所以
，选
。

9.解析：考察和角的正切公式，
，
，由勾股定理
，即
，即

，故
。选
。

10. 解析：考察等差、等比数列的有关性质，①的反例：
为常数列，③的反例：
的
为偶数。选
。

11.解析：考察倍角的正弦公式，原式
。

12.解析：考察等差中项，
。

13.解析：考察裂项法求和，

原式

14.解析：考察正弦定理，由
得
，所以
或
。

15.解析：考察三角恒等变换及三角函数的性质，

，由
得

对称轴为

16.解析：考察解三角形的实际应用，过
作垂线，垂足为
，则
为最近距离，
，由
知答案填
。

17.解析：考察观察、分析、归纳的能力，

，其中
。

18.（解析：考察和角及倍角的正切公式，由
得
，（6分） 所以
。（12分）

19.解析：考察解三角形的知识，连接
，则可知

，（4分）在
中，由余弦定理
（8分）得
，故
。（12分）

20. 解析：考察三角恒等变换及三角函数的性质，

（5分） ⑴最小正周期
； （7分）

⑵当
时，
，
在
上递增，在
上递减，所以当
时，
取最大值
，（11分）此时
的集合为
。（13分）

21.解：⑴
年后新城区的住房总面积为

.

设每年旧城区拆除的数量是
，则
,

解得
，即每年旧城区拆除的住房面积是

.（5分）

⑵设第
年新城区的住房建设面积为
，则
（8分）

所以：当
时，
； （10分）

当
时，

.

故
（14分）

22.解：（1）∵
，∴
，

且∵
，∴
， ∴数列
为等比数列． （5分）

（2）由（1）可求得
，∴
．

，

若
，则
，∴
． （10分）

（3）假设存在，则
，

∵
，∴
．

化简得：
，∵
，

当且仅当
时等号成立．又
互不相等，∴不存在． （14分）