湖北省黄冈市黄冈中学2013年高一下学期期中考试

数学试题（理）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）

1、数列
的一个通项公式可能是 （ ）

A．
B．
C．
D．

2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,已知
，则△ABC的面积为（ ）

A．
B．3 C．
D．

3、等差数列{an}中，已知
，则n=（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12

4、
（ ）

A．
B．
C．
D．

5、已知{an}是等比数列，则下列数列中也一定是等比数列的是（ ）

A．
（其中C为常数） B．

C．
（其中
为常数数列） D．

6、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,若
，则△ABC的形状是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

7、若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8、等比数列的前10项和，前20项和，前30项的和分别为S，T，R，则（ ）

9、已知正方形ABCD的边长为2， P、Q分别为边AB、DA上的点。设
若
的周长为4，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

10、下列命题中正确的是：（ ）

①若数列
是等差数列，且
，则
；

②若
是等差数列
的前
项的和，则
成等差数列；

③若
是等比数列
的前
项的和，则
成等比数列；

④若
是等比数列
的前
项的和，且
；（其中
是非零常数，

），则
为零

①②
②③
②④
③④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)

11、若三个数
成等差数列，则m=________.

12、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,已知
则C=______________.

13.、函数
的对称轴方程为x=______________.

14、如图，一艘轮船B在海上以


的速度沿着方位角（从指北

方向顺时针转到目标方向线的水平角）为
的方向航行，此时轮船B

的正南方有一座灯塔A。已知


，则轮船B航行

时距离灯塔A最近。

15.、观察以下各等式：

，

，

。

分析上述各式的共同特点，请写出一个能反映一般规律的等式______________.

三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16、（12分）已知
，
，求
的值。

17、（12分）如图四边形ABCD中，
；且
，求边AD的长。



18、（12分）已知函数
。

⑴求
的最小正周期；

⑵当
时，求
的最小值以及取得最小值时x的集合。

19、（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,若
.

⑴ 求角A；

⑵ 若
，求
的单调递增区间.

20、（13分） 某地正处于地震带上，预计20年后该地将发生地震.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为

，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积

，开始几年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年新建的住房面积都比上一年新建的住房面积增加

.设第

N)年新城区的住房总面积为an
，该地的住房总面积为bn
.

⑴求an；

⑵若每年拆除4a
，比较
与bn的大小.

21、（14分） 已知数列
的前n项和为Sn，点
在直线
上．数列
满足

，且
，前11项和为
.

⑴求数列{an}、{bn}的通项公式；

⑵设
，数列{cn}的前n项和为
，求使不等式
对一切
都成立的最大正整数
的值；

⑶设
是否存在
，使得
成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

数学（理）答案及解析：

1、A 考察数列的特点可知选A.

2、C 考察三角形的面积公式
，选C。

3、C 考察等差数列的通项公式,可知
，由
解得n=11，选C。

4、B 考察和角的余弦公式，原式
，选B。

5、B 考察等比数列定义的理解，C中若
则非等比，选B。

6、D 考察正弦定理，由
得
，即

，所以
或
，即A=B或
。选D。

7、C 考察诱导公式及倍角公式，
，选C。

8、A 考察等比数列的前n项和公式，设
（其中
），则
，

，
，检验知选A。

9、C考察和角的正切公式，
，
，由勾股定理
，即
，即

，故
。选C。

10、C 考察等差、等比数列的有关性质，①的反例：{an}为常数列，③的反例：{an}的
为偶数。选C。

11、5 考察等差中项，
。

12、考察正弦定理，由
得
，所以
或
。

13、考察三角恒等变换及三角函数的性质，

，由
得

对称轴为

14、考察解三角形的实际应用，过A作垂线，垂足为C，则AC为最近距离，
，由
知答案填
。

15、考察观察、分析、归纳的能力，

，其中
。

16、考察三角恒等变换，

原式

（6分）

（10分）

（12分）

17、考察解三角形的知识，连接AC，则可知
AC=2，，（4分）在
中，由余弦定理
（8分）得
，故
。（12分）

18、考察三角恒等变换及三角函数的性质，

（4分）

⑴周期
； （6分）

⑵当
时，
，
在
上递减，在
上递增，所以当
时，
取最小值
，（10分）此时x的集合为
。（12分）

19、解三角形与三角函数的综合，

(1)由正弦定理得
，即
， （3分）

由余弦定理得
，∴
；（6分）

(2)



， （10分）

由
，得
，

故
的单调递增区间为
，
. （12分）

20、解：⑴设第
年新城区的住房建设面积为

，则

当
时，
；当
时，
.

所以, 当
时，
；

当
时，

.

故
. （6分）

⑵
时，
，
，显然有
.

时，
，
，此时
.

时，
，
，

. 所以,
时，
；

时，
.
时，显然
.

故当
时，
；当
时，
.（13分）

21、解：（1）由题意，得
，即
．

故当
时，

-

．

注意到
时，
，而当
时，
，

所以，

．

又
，即

，

所以
为等差数列，于是
．

而
，故
，
，

因此，
，

即

． （5分）

（2）

．

所以，

．

由于

因此
单调递增，故
．

令
，得
，所以
． （10分）

（3）

① 当m为奇数时，
为