试卷Ⅰ（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．

1．对于任意的实数
，下列命题正确的是

A．若
，则
　　　B．若
，则

C．若
，则
　　　　　D．若
，则

2．函数
的图象一定过点

A．
　　B．
　　C．
　　D．

3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体是

4．如果角
的终边经过点
，那么
的值是

　　A．
　　　B．
　　　C．
　　D．

5．已知
为坐标原点，向量
，
，且
，则点的坐标为

A．
　　B．
　　C．
　　D．

6．已知是函数
的零点，若
，则
的值满足

A．
　B．
　C．
　D．
的符号不确定

7．已知等差数列
前项和为
，且
，则
的值为

A．13　　　B．26　　　C．8　　　D．162

8．在
中，角
的对边长分别为
，若
，则
的形状为

A．直角三角形　B．等腰三角形　C．等边三角形　D．等腰直角三角形

9．设
，
，
（其中为自然对数的底数），则

A．
B．
C．
D．

10．已知正数
，满足
，则
的最小值为

A．1　　B．
　　C．
　　D．

11．设等差数列
的前项和为
，已知
，
，则下列结论中正确的是

A．
　　　B．

C．
　　D．

12．三棱锥的三组相对的棱分别相等，且长度各为
，其中
，则该三棱锥体积的最大值为

A．
　　B．
　　C．
　　D．

试卷II(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相

应的空内．

13．函数
的定义域为 ＊＊＊ ．

14．等比数列
，已知
，且公比为正整数，则数列
的前项和　＊＊＊　．

15．把一个半径为
的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为__＊＊＊___．

16．右图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为　＊＊＊　
．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，

并写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

风景秀美的京娘湖畔有四棵高大的银杏树，记做、、、
，欲测量、
两棵树和、两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便的测得、两点间的距离为
米，如图，同时也能测量出
，
，
，
，则、
两棵树和、两棵树之间的距离各为多少？

18．（本小题满分12分）

已知正方体
中，面
中心为
．

（1）求证：
面
；

（2）求异面直线
与
所成角．　

19．（本小题满分12分）

已知函数
是定义在上的偶函数，且当
时，
．

（1）写出函数
在
的解析式；

（2）若函数
，求函数
的最小值．

20．（本小题满分12分）

已知
的最小正周期为
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值；

（Ⅱ）在
，若
，且
，求
的值．

21．（本小题满分12分）

森林失火了，火正以
的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火后
到达现场开始救火，已知消防队在现场每人每分钟平均可灭火
，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用每人每分钟
元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人
元，而每烧毁
森林的损失费为
元，设消防队派了名消防员前去救火，从到达现场开始救火到火全部扑灭共耗时
．

（1）求出与的关系式；

（2）问为何值时，才能使总损失最小．

22．(本小题满分12分)

已知
，点
在函数
的图象上，其中

（1）证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（2）记
，求数列
的前项和
．

石家庄市第一中学

2012—2013学年第二学期期中考试高一年级数学试题

试卷Ⅰ（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．

1．对于任意的实数
，下列命题正确的是　　A

A．若
，则
　　　B．若
，则

C．若
，则
　　　　　D．若
，则

2．函数
的图象一定过点（ ）

A．
　　B．
　　C．
　　D．

3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体是　　D

4．如果角
的终边经过点
，那么
的值是（　　）

　　A．
　　　B．
　　　C．
　　D．

5．已知
为坐标原点，向量
，
，且
，则点的坐标为C

A．
　　B．
　　C．
　　D．

6．已知是函数
的零点，若
，则
的值满足(　　)

A．
　B．
　C．
　D．
的符号不确定

7．已知等差数列
前项和为
，且
，则
的值为 A

A．13　　　B．26　　　C．8　　　D．162

8．在
中，角
的对边长分别为
，若
，则
的形状为

A．直角三角形　B．等腰三角形　C．等边三角形　D．等腰直角三角形

9．设
，
，
（其中为自然对数的底数），则

A．
B．
C．
D．

10．已知正数
，满足
，则
的最小值为( )

A．1　　B．
　　C．
　　D．

11．设等差数列
的前项和为
，已知
，
，则下列结论中正确的是（ A ）

A．
　　　B．

C．
　　D．

12．三棱锥的三组相对的棱分别相等，且长度各为
，其中
，则该三棱锥体积的最大值为D

A．
　　B．
　　C．
　　D．

试卷II（90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相

应的空内．

13．函数
的定义域为 ．

14．等比数列
，已知
，且公比为正整数，则数列
的前项和　　　　　．

15．把一个半径为
的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为__________．20

16．右图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为　　　　
．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，

并写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

风景秀美的京娘湖畔有四棵高大的银杏树，记做、、、
，欲测量、
两棵树和、两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便的测得、两点间的距离为
米，如图，同时也能测量出
，
，
，
，则、
两棵树和、两棵树之间的距离各为多少？

18．（本小题满分12分）

已知正方体
中，面
中心为
．

（1）求证：
面
；

（2）求异面直线
与
所成角．　

∴　
为直角三角形，∴　
．……6分

19．（本小题满分12分）

已知函数
是定义在上的偶函数，且当
时，
．

（1）写出函数
在
的解析式；

（2）若函数
，求函数
的最小值．

20．（本小题满分12分）

已知
的最小正周期为
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值；

（Ⅱ）在
，若
，且
，求
的值．

20解：∵

，………2分

由
得
，∴
． ………4分

（Ⅰ）由
得
，

∴当
时，
．………6分

（Ⅱ）由
及
，得
，

而
， 所以
，解得
．………8分

在
中，∵
，
，

∴
， ………………10分

∴
，解得
．

∵
，∴
． ………………12分

21．（本小题满分12分）

森林失火了，火正以
的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火后
到达现场开始救火，已知消防队在现场每人每分钟平均可灭火
，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用每人每分钟
元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人
元，而每烧毁
森林的损失费为
元，设消防队派了名消防员前去救火，从到达现场开始救火到火全部扑灭共耗时
．

（1）求出与的关系式；

（2）问为何值时，才能使总损失最小．

22．(本小题满分12分)

已知
，点
在函数
的图象上，其中

（1）证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（2）记
，求数列
的前项和
．

证明：（1）由已知
，

，
，
，　……2分

两边取对数得
，即

是公比为2，首项为
的等比数列．　……4分

∴　

(*) 　　　　　　
　　　……6分

（2）
，