成都外国语学校高中2015级

数学半期考试试卷(含答案)

命题人 刘世华 审题人 于开选

第Ⅰ卷，选择题

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知
外接圆的半经为
，则
等于（ C ）

A．
　　　 B．
　　　 C．
　　　 D．不确定

2．数列
中，
，则
等于（　C　）

A．
　　 　B
．
　　　　 C．
　　　　 D．

3．若
，则
的最小值为 （ D ）

A
．
B ．
C．
D．

4． 在
中,
则
等于（ D ）

A .
B.
C.
D.

5．若不等式
的解集为
，则
的值为(　D 　)

A．
B．
C．
D．

6．若等比数列
的公比
，且
，又
，那么(　B　)

A．
B．

C．
D．
与
的大小不能确定

7. 数列
的通项公式
,其前
项和为
,则
等于（ A ）

A．
B．
C．
D．

8．
中，三内角
成等差数列，则
的最大值为 (　B 　)

A．
B．
C．
D．

9.直线
与
的图象在
轴右侧从左至右的第
个交点的横坐标记为
，若数列
为等差数列，则
( D )

A．
B．
C．
或
D．
或
．

10.在
中，角
的对边
满足：
，给出下列不等式：

①
；②
；③
.

其中一定成立的是 （B ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

第Ⅱ卷，非选择
题

二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共25分）

11.在
中，若

，
，则
的面积

12
.函数
的定义域为

13.甲船在
处观察到乙船在它的北偏东
方向的
处，乙船

向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的
倍，则甲船

应沿_____ 北偏东
___方向前进才能尽快追上乙船.

14.若关于
的不等式
对一

切
恒成立，则

15.已知数列
是等差数列，它的前
项和
满足：
，令
.若对任意的
，都有
成立，则
的取值范围是
．

三、解答题（本大题共6个小题）

16.(本题满分12分) 如图： 在
中，角
的对边分别为

(Ⅰ) 若
边上的中点为
，且
，

求证：
；

(Ⅱ) 若
是锐角三角形，且
.

求
的取值范围.

解 ：(Ⅰ) 法1： 在
中：
①

在
中：
②

法2：利用
推证更简捷.

(Ⅱ)

，又
为锐角三角形，

故
.从而
.

.

，

.故
.

17. (本题满分12分)已知函数
.

(Ⅰ) 求
的最小值及相应
的值；

(Ⅱ) 解关于
的不等式：
.

解：(Ⅰ)

故

等号成立条件：

故当
时,

(Ⅱ)

(1)当
时,解集为
；(2)当
时,解集为
.

18．(本题满分12分) 如图所示：用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ，假设墙有足够长．

(Ⅰ) 若篱笆的总长为
，则这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大？

(Ⅱ) 若菜园的面积为
，则这个矩形的长，宽各为多少时，篱笆的总长最短？

解：设这个矩形的长为
，宽为
，篱笆的长为
，面积为
．

(Ⅰ) 由题知
，由于
，

∴
，
，即
，当且仅当
时等号成立．

由

故这个矩形的长为
，宽为
时，菜园的面积最大．

(Ⅱ) 条件知
，
.

,当且仅当
时等号成立．

由

故这个矩形的长为
、宽为
时，可使篱笆的总长最短．

19. (本题满分12分)在
中
，内角
的对边分别为
.

已知：
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
,求
的面积.

解：（Ⅰ）由正弦定理得


所以
=
,即

,

即
,所以
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知:
=2,即
,又因为
,所以由余弦定理得：

，即
,解得
,所以
。

又因为
，故
的面积为
.

20. (本题满分13分) 已知数列
的前

项和
，

(Ⅰ)求
的通项公式；

(Ⅱ) 令
，求数列
的前
项和
．

解：(Ⅰ) 由
①

可得：

．

同时
②

②-①可得：


．

从而
为等比数列，首项
，公比为
．

．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
，

故
．

21．（本题满分14分）对于无穷数列
和函数
，若
，则称
是数列
的母函数.

（Ⅰ）定义在
上的函数
满足：对任意
，都有
，且
；又数列
满足：
.

求证：
是数列
的母函数；

(2)求数列
的前项
和
.

（Ⅱ）已知
是数列
的母函数，且
.若数列
的前
项和为
，求证：
.

解：（Ⅰ）(1)由题知
，且

.

是数列
的母函数；

(2) 由(1) 知：
是首项和公差均为
的等差数列，故
.

①

②

①-②得：

.

.

（Ⅱ）由题知：
，
.

.

从而
是以
为首项，
为公比的等比数列.

.

又

故当
时，有：

.