沈阳二中2012——2013学年度下学期期中考试

高一（15届）数学试题

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知
为第三象限角，则
所在的象限是（ ）

A．第一或第二象限 B.第二或第三象限

C.第一或第三象限 D.第二或第四象限

2. 一个扇形的圆心角为
，半径为
，则此扇形的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知
，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

4.
的值为（ ）

A.
　 B.
C.3 D.

5. 已知
是夹角为60°的两个单位向量，则
与
的夹角的余弦值是（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 使函数
为奇函数，且在
上是减函数的
的一个值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 已知函数
的最小正周期为
，为了得到函数
的图象，只要将
的图象（ ）

A． 向左平移
个单位长度 B． 向右平移
个单位长度

C． 向左平移
个单位长度 D． 向右平移
个单位长度

8. 函数
的部分图象如图所示，点
、
是最高点，点
是最低点．若△
是直角三角形，则
的值为（ ）

A．
B．

C．
D．

9. 在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为
，则＝（ ）

A.
B.
C.
D.

10.在锐角
中，设
则
大小关系为（ ）

A.
B.
C .
D.

11.已知
为平面上不共线的三点，
是△ABC的垂心，动点
满足
，则点
一定为△ABC的（ ）

A.
边中线的中点 B.
边中线的三等分点（非重心）

C. 重心 D.
边的中点

12.平面向量的集合
到
的映射
，其中
为常向量．若映射
满足
对任意的
恒成立，则
的坐标可能是（ ）

A.(
，
) B.(
，
) C.(
，
) D. (
，
)

第Ⅱ卷 （90分）

二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若角
的终边经过点
，则
的值为______________．

14. 函数
的定义域为 ．

15. 已知
且
，则

．

16. 如图，在平面斜坐标系xOy中，
，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若
（其中
，
分别是x轴，y轴正方向的单位向量），则P点的斜坐标为(x，y)，向量
的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：

①若
，P(2,－1)，则
；

②若
，
，则
；

③若
(x，y)，
，则
；

④若
，
，则
；

⑤若
，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为
．

其中所有正确的结论的序号是______________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）

设

（Ⅰ）若
，求实数
的值；

（Ⅱ）求
在
方向上的正射影的数量．

18. （本小题满分12分）

已知向量
与
互相垂直，其中
.

（Ⅰ）求
和
的值；

（Ⅱ）若
，
，求
的值．

19. （本小题满分12分）

在
中，
.

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）若
为锐角，求
的最大值并求出此时角
的大小．

20. （本小题满分12分）

已知函数
，且函数
的图象相邻两条对称轴之间的距离为
.

（Ⅰ）求
的对称中心；

（Ⅱ）当
时，求
的单调增区间．

21. （本小题满分12分）

已知向量

（Ⅰ）用含x的式子表示
及
；

（Ⅱ）求函数
的值域；

（Ⅲ）设
，若关于x的方程
有两个不同的实数解，求实数
的取值范围．

22. （本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系
中，以
轴为始边，两个锐角
,
的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．

（Ⅰ）若
，
，求
的值；

（Ⅱ）若角
的终边与单位圆交于
点，设角
的正弦线分别为

，试问：以
作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.

沈阳二中2012——2013学年度下学期期中考试

高一（15届）数学试题参考答案

一、选择题

DACBD BABDC BB

二、填空题

13.
14.
15. 0 16. ①②③⑤

三、解答题

17.解：（Ⅰ）

故
所以
……5分

（Ⅱ）
……10分

18.解：（Ⅰ） (1)∵
，∴
＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，

又∵sin2θ＋cos2θ＝1，

∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝，

又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝. ……6分

（Ⅱ）∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝cosφ＋2sinφ＝3cosφ，

∴cosφ＝sinφ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.

∵0<φ<，∴cosφ＝.……12分

19解：（Ⅰ）
且

所以

……6分

（Ⅱ）令

由
得
……8分

所以
，则
，于是
，

所以当
时，
，此时
.……12分

20.解：（Ⅰ）
.

由题意，
，即
，所以
，即
.

从而
，……4分

令
，则
所以对称中心为
……6分

（Ⅱ）
由

可得：

时
为单调递增函数……8分

∴
单调递增区间为
，
……12分

21.解：（Ⅰ）
……2分

……4分

（Ⅱ）

又

∴


……8分

（Ⅲ）由
得：

令

∴

……10分

∴
……12分

22.解：（Ⅰ）∵0<α<，tanα＝，∴cosα＝，sinα＝.

又∵0<β<，sinβ＝，∴0<2β<π，cos2β＝1－2sin2β＝，sin2β＝＝.

于是cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝.

由已知条件知0<α＋2β<π，∴α＋2β＝.……6分

另解：由0<2β<π，cos2β＝1－2sin2β＝，可得出
，
，则
，所以
，又
，故α＋2β＝

……6分

（Ⅱ）解：以
作为三边的长能构成一个三角形，证明如下：

∵
，∴

∴
，
，

∵
，所以
，
，于是有：

①……8分

又∵
，∴
，于是有：

②

同理：
③

由①②③可知，以
作为三边的长能构成一个三角形.……12分