成都七中实验学校高2015届高一下第三学月考试数学试题

命题人:李远秋 戴芝宇 审题人 高一数学组

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分. )

1、点
到直线
的距离为（ D）

2、在
中，若
（ A ）

3、在平面直角坐标系中，点
在直线
右上方，则
的取值范围是（ D ）[来源:Zxxk.Com]

4、在
中，若
（ C ）

5、在
中，若
（ A ）

6、已知数列
的前
项和
，第
项满足
，则
（ A ）

[来源:学.科.网]

7、圆
关于直线
对称的圆是（ B）

8、设直线
的倾斜角为
，且
，则
、
满足（C）

9、七中实验甲乙两个学生同时从寝室到教学楼，甲生一半路程走，一半路程跑，乙生一半时间走，一半时间跑，甲乙两生走跑的速度都相同，当然，地球人都知道跑比走速度快，问甲乙两
人谁先到达（ B）[来源:Zxxk.Com]

10、函数
，当
时，
恒成立，则
的最大值与最小值之和为（ B ）

二、填空题

11、已知数列
满足
，

，则
___
_______.[来源:学科网]

12、过点
，且与
垂直的直线的方程为____
____________

13、设
，
满足约束条件
，则
的最大值为___6______
.

14、当点
在直线
上移动时，表达式
的最小值为__7_____.

15、①对于任意不
为零的实数
，有＋≥2；

②设
是等差数列

的前
项和，若
为一个确定的常数，则
也是一个确定的常数；[来源:学科网]

③
的三个角A、B、C的对边分别是
，如果
，那么这个三角形必定是等腰三角形；

④如果实数
满足等式
，那么
的最大值是
．

其中正确命题的序号是__②______④______。

三、
解答题(16—19,12分一题；20题13分；21题14分)
[来源:Z,xx,k.Com]

16、求下列轨

迹方程（1）已知点
，则以线段
为直径的圆的方程．（2）已知线段
的端点
的坐标是
，端点
在圆
上运动，求线段
的中点轨迹方程．

解：（1）由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，-3），即圆心的坐标为C（1，-3）；

r=|AC|=
，

故所求圆的方程为：（x-1）2+（y
+3）2=29．

（2）代入法：

所求轨迹方程为：(x-
)2+(y-
)2=1

17、在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且

．

（1）确定角C的大小；

（2）若边
，且

，求

的值

解：（1）由
a=2csinA及正弦定理得：
=
=
，

∵sinA≠0，∴sinC=

在锐角△ABC中，C=
．

（2）∵c=
，C=
，

由面积公式得
absin
=
，即ab=6①

由余弦定理得a2+b2-2abcos
=7，即a2+b2-ab=7②

由②变形得（a+b）2=25，故a+b=5．

18、成等差数列的三个正数的和等于15
，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数
列
中的

（I） 求数列
的通项公式；

（II） 数列
的前
项和为
，求证：数列
是等比数列．[来源:学&科&网]

解：（I）设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d

依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5

所以{bn}中的依次为7-d，10，18+d[来源:学.科.网]

依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）

故{bn}的第3项为5，公比为2

由b3=b1?22，即5=4b1，解得b1=

所以{bn}是以
首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn=
?2n-1

（II）数列{bn}的前和S n=

即S n+
=
，所以S1+
=

,

因此{Sn+
}是以
为首项，公比为2的等比数列

19、成都七中实验学校计划2013年在成都新闻、影视频道
做“10周年校庆”总时间不超过300分钟
的广告，广
告总费用不超过9万元，新闻、教育频道的
广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定新闻、教育频道为我校所做的每分钟广告，能给学校带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问学校如何分配在新闻、教育频道的广告时间，才能使学校的收益最大，最大收益是多少万元？

解：设在新闻、教育频道的广告的时间分别为x分钟和 y分钟，总收益为z元，

由题意得

x+y≤300

50
0x+200y≤90000

x≥0，y≥0.

目标函数为z=3000x+2000y． （6分）

二元一次不等式组等价
于 x+y≤300

5x+2y≤900

x≥0，y≥0.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：

作直线z=3
000x+2000y

当直线l过M点时，目标函数取得最大值．

联立 x+y=300

5x+2y=900.

解得x=100，y=200．

∴点M的坐标为（100，20
0）．

∴zmax=3000x+2000y=700000（元） （12分）[来源:Zxxk.Com]

答：在新闻、教育频道分别做100，200分钟广告，收益最大，最大收益是70万元．

20、已知直线
，圆

（Ⅰ）证明：对任意
，直线
与圆
恒有两个公共点．[来源:Zxxk.Com]

（Ⅱ）过圆心
作
，当
变化时，求
点
的轨迹方程．

（Ⅲ）直线
与点
的轨迹交于点

，直线
与圆
交于点

，是否存在
的值，使得
？若存
在，试求出
的值；若不存在，请说明理由．

21、设数列
满足
。

（Ⅰ）证明：数列
是等差数列；

（Ⅱ）求
的通项公式；

（Ⅲ）设
数列
的前
项和为
，讨论圆
：
与圆
：
的位置关系。

(2)

(3)

圆心

圆心：
圆心距：

，n取其他值时两圆相离。

[来源:学&科&网