江苏省黄埭中学2012-2013学年高一数学暑假作业一

班级：_________ 姓名:_____________

一．填空题

1.已知集合
,
,则
= ．

2.函数
的最小正周期为 .

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高一年级抽取 名学生．

4.在等差数列
中,已知
,则
．

5.一位篮球运动员在最近的8场比赛中得分的茎叶图如图

所示,则他在这8场比赛中得分的平均值是 ．

6.在
中,已知
,则其最小内

角的大小为 .

7.执行如图算法框图,若输入
,
,则输出的值

为 ．

8.若不等式
的解集所对应区间的长度为4,

则实数
的值为 .

9.取一根长为5分米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么

剪得的两段都不小于2分米的概率为 .

10.在公差
不为0的等差数列
中,已知
,且

恰好构成等比数列,则
的值为 .

11.抛掷两颗骰子,所得点数
构成向量
,则
的概率为 .

12.若函数
的值域为
,其中
,则
的最小值为 ．

13.设
,
,且
是以
为斜边的直角三角形,若
,
,则
的值为 ．

14.已知函数
若关于
的方程
有且仅有三个不同的实数根,且
分别是三个根中的最小根和最大根,则
的值

为 ．

二．解答题

15.已知函数
,
.

（1）求
的最大值,并指出取得该最大值时
的值；

（2）求
的单调减区间.

16.若函数
的图象过
与
两点,设函数
.

（1）求
的定义域；

（2）判断函数
的奇偶性,并说明理由.

17.某县共有960名学生参加了一次数学竞赛,现从

中随机抽出80名学生,将其成绩（满分100分,

均为整数）按
进行分组,并制作成频率分布直方图如图.

（1）试估计本次数学竞赛成绩全县不低于80分

的人数；

（2）试估计本次数学竞赛成绩的平均分（同一

组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

18.设数列
的前
项和为
,且
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
（
）,数列
的前
项和为
,若对任意的
,均有
,求
的取值范围.

19.如图,平面内有三个向量
,其中
与
的夹角为
,
与
的夹角为
,且
,
,
.

（1）求
的度数；

（2）设
.

①若
⊥
,试求实数
的值；

②若
∥
,试求实数
的值.

20.已知
若
,且点
关于坐标原点的对称点也在
的图象上,则称
为
的一个“靓点”.

（1）当
时,求
的“靓点”；

（2）当
且
时,若
在
上有且只有一个“靓点”,求
的取值范围；

（3）当
且
时,若
恒有“靓点”,求
的取值范围.

暑假作业1

一、填空题：每小题5分,共计70分.

1．
2．
3．20 4.45

5．14 6.30°（或
） 7．1 8.－3

9．
10．－2 11．
12．4

13．
14．
或

二、解答题：本大题共6小题,共计90分.

15．解:（1）因为
时,所以
,所以
的最大值为2………………4分

由
,解得
,所以取最大值时的
………………………………………7分

（2）由
,解得
………… 10分

又
,所以
的单调减区间为
………………………………………… 14分

16．解：（1）由题意得
,解得
……………………………………………………4分

所以
,故
的定义域为
……………………………………………7分

（2）因为
……………………………… 10分

该函数的定义域为（－1,1）,且
,

所以函数
是偶函数 ……………………………………………………………………… 14分

17解：（1）因为样本个体在
这两个区间上的频率

为
…………………………………………………………………… 4分

所以估计全县达到80分以上的人数为
人…………………………………… 7分

（2）利用组中值估算抽样学生的平均分为
……11分

=
,

答：估计这次数学单元测试成绩的平均分是72分……………………………………………15分

18．解:（1）当
时,

………………5分

又
,适合上式 …………………………………………………………………………6分

所以
（
）……………………………………………………………………7分

（2）因为
……………………………………………………………9分

所以
……………………………………11分

又因为对任意的
,
恒成立,所以
…………12分

因为当
时,
,所以
………………………………………… 13分

解之得
…………………………………………………………………………………15分

19．解：（1）因为3=

,得
……………………3分

所以
,得
,

即
,而
,所以
,即
………6分

（2）①因为
,所以
·
=0…………………………………………………8分

所以
·
=0,则
,

即
,解得
…………………………………11分

②以OA,OB为邻边,OC为一条对角线作
,则
,

,所以
…………………………………………………13分

因为
∥
,所以可设
,

则
,即
,

所以由
,解得
,所以
…………………………………………16分

（说明：其它解法,仿此给分）

20．解: 因为当
时,
,其关于坐标原点对称图象的解析式为
,所以函数
的“靓点”就是
与
这两个函数图象交点的横坐标.

（1）当
时,
,
………………………………2分

由
,解得
,所以函数
的“靓点”为
…………………………5分

（2）当
且
时,
,
,

此时函数
的“靓点”即为方程
的正根 ……………………………7分

方程变形为
,设

因为当
时,
,结合图象知,要想
在
上有且只有

一个“靓点”,则当
时,必须有
,即
,解得
……………10分

（3）当
且
时,
,
,

要想
恒有“靓点”,则方程
,

即方程
恒有正根 ……………………………………………………………12分

记
,

①当
时,方程无解,不适合题意……………………………………………………… 13分

②当
时,因为
,且
的图象是开口向上的抛物线,所以方程
一定有正根,所以
适合题意…………………………………………………………… 14分

③当
时,由
,解得
或
,所以
………………… 15分

综上所述,
的取值范围是
或
……………………………………………… 16分

（说明：其它解法,仿此给分）