2013.4 盐城市龙冈中学2012/2013学年度第二学期

高一年级期中考试

数学试题

命题人：潘诗明 夏淑贞

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应的横线上．）

1．函数
的最小正周期为 .

2．一直线倾斜角的正切值为
，且过点
，则直线方程为_____________.

3．函数y=2cos 2x+sin2x的最小值 .

4．正方体的全面积是
，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_________
.

5．已知直线
，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数
的取值范围是 .

6．已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为5,则此三棱柱的体积为______.

7．已知两条不同直线
、
，两个不同平面
、
，给出下列命题：

①若
垂直于
内的两条相交直线，则
⊥
；②若
//
，则
平行于
内的所有直线；

③若


，


且
⊥
，则
⊥
； ④若
⊥
，


，则
⊥
。

其中正确命题的序号是 .

8．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积为时，AC＝ .

9．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18 cm的扇形，则圆锥母

线与底面所成角的余弦值为________.

10．△
中，∠

，
⊥平面
，则右图中直角三角形

的个数为 ．

11．在
中，
分别为内角
的对边，若
，

且
，则角B= .

12．如图，甲船以每小时
海里的速度向正北方航行，乙船按固定

方向匀速直线航行，当甲船位于
处时，乙船位于甲船的北偏西

方向的
处，此时两船相距
海里，当甲船航行
分钟到

达
处时，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处，此时两船

相距
海里，则乙船每小时航行 海里.

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝b2＋bc，sin C＝2sin B，则A＝________.

14．在棱长为4的正方体
中，
、
分别为棱
、
上的动点，点
为正方形
的中心. 则空间四边形
在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 .

二、解答题：（本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15．（本大题14分）

已知直线
过点A（－2，3）

（1）直线
的倾斜角为
，求直线
的方程；

（2）直线
在两坐标轴上的截距之和为2，求直线
的方程.

16．（本大题14分）

如图，在四棱锥
中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O。

求证：（1）直线OE∥平面PBC；

（2）平面ACE⊥平面PBD.

17．（本大题15分）

已知函数f(x)＝2cos.

（1）设x∈
，且f(x)＝＋1，求x的值；

（2）在△ABC中，内角
的对边的边长为
，AB＝1，f(C)＝＋1，且△ABC的面积为，求
的值．

18．（本大题15分）

已知
中，内角
的对边的边长为
，且

（1）求角
的大小；（2）若
求
的取值范围．

19．（本大题16分）

如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数

，
时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。赛道的中间部分为长
千米的直线跑道CD，且CD// EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．

（1）求
的值和
的大小；

（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且
，求当“矩形草坪”的面积取最大值时
的值．

20．（本大题16分）

在△ABC中，
,D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图1）.将△ABD沿着AD折起到△A
D的位置，连结
C（如图2）.

（1）若平面A
D⊥平面AD C，求三棱锥
-AD C的体积；

（2）记线段
C的中点为H,平面
ED与平面HFD的交线为
,求证:HF∥
；

（3）求直线AD与
E的所成角.

（图1） （图2）

2013.4

盐城市龙冈中学2012/2013学年度第二学期

高一年级期中考试

数学试题参考答案

一、填空题

1．
2．
3．1-
4．

5．
6．45
7．①④ 8．

9． 10．4 11．
12．30

13．
14．12

二、解答题

15．解：（1）的方程为y=-(x+2)+3，即y=-x+1………………………6分

（2）设线方程为：y=kx+b 因为过点A(-2,3)

所以3=-2k+b 当y=0，x=-
当x=0，y=b -
+b=2

解方程组

解得
=-1，b=1

=
, b=6 所以直线方程为: y=x+1或3x-2y+12=0………………………14分

16．证：（1）在正方形ABCD中，AC与BD的交点O为BD的中点。

又因为E为PD的中点，所以OE∥PB。

因为OE
平面PBC，
平面PBC，所以OE∥平面PBC。………………………7分

（2）因为PD⊥底面ABCD，AC
平面ABCD，

所以PD⊥AC。

在正方形ABCD中，AC⊥BD。

又因为BD
平面PBD，PD
平面PBD，且
，

所以AC⊥平面PBD。

又因为AC
平面ACE，

所以平面ACE⊥平面PBD。 ………………………14分

17．解：(1) f(x)＝2cos2－2sincos＝(1＋cosx)－sinx＝2cos＋.

由2cos＋＝＋1, 得cos＝.

于是x＋＝2kπ±(k∈Z)，因为x∈
，所以x＝.………………………7分

(2) 因为C∈(0，π)，由(1)知C＝.

因为△ABC的面积为，所以＝absin，于是ab＝2， ①

在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b，

由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7，②

由①②可得或于是a＋b＝2＋. …………………15分

18．解：（1）由正弦定理可得：

即
，因为
，所以
，

，
。 ………………………7分

（2）由（1）知
，

则

则

所以
的取值范围为
………………………15分

19．解：（1）由条件，得
，
．……………………………………………2分

∵
，∴
．………………………………………………4分

∴ 曲线段FBC的解析式为
．

当x=0时，
．又CD=
，∴
．……7分

（2）由（1），可知
．

又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故
．

设
，
，“矩形草坪”的面积为

=
．

∵
，故
取得最大值．………………16分

20．