成都七中2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题

（特别提醒：请在答题卡上作答！）

一、选择题（每题5分，共50分）请将选项填涂在答题卡上

1. 已知
，则下列不等式正确的是（ C ）

A．
B．
C．
D．

3．等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
等于（C　　）

Ａ．12 Ｂ．18 Ｃ．24 Ｄ．42

4. 已知圆
在曲线
的内部，则半径
的范围是（B）

A．0<
<
B．0<
<2
C．0<
<2 D．0<
<4

5. 如图，要测出山上石油钻井的井架
的高，从山脚
测得
m，

塔顶
的仰角
，塔底
的仰角
，则井架的高
为（ B ）

A．
m B．
m C．
m D．
m

6.若
，
满足约束条件
，则
的最大值为（ D ）

A．3 B．6 C．8 D．9

7. 已知两个等差数列
和
的前
项和分别为A
和
，且
，则使得
为整数的正整数
的个数是（ D ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为
若
,则△ABC的形状是（ A ）

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形

9. 已知直线
与
,给出如下结论：

①不论
为何值时,
与
都互相垂直;

②当
变化时,
与
分别经过定点A(0,1)和B(-1,0);

③不论
为何值时,
与
都关于直线
对称;

④当
变化时,
与
的交点轨迹是以AB为直径的圆(除去原点).

其中正确的结论有（ B ）.

A．①③ B．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．①②③④

10. 在△ABC中，
分别是
,
的中点，且
，若
恒成立，则
的最小值为（A ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上

11. 不等式
的解集是

12.已知直线
：
.不通过第四象限，则
的取值范围是
.

13.过直线
上一点
作圆
的切线
，若
关于直线
对称，则点
到圆心
的距离为 .

14. 若方程
有两个实数根，则实数
的取值范围是
或
.

15.下列命题：

①
中，若
,则
；

②若A，B，C为
的三个内角，则
的最小值为

③已知

，则数列
中的最小项为
；

④若函数
，且
，则
；

⑤函数
的最小值为
.

其中所有正确命题的序号是 ②③

三、解答题（16—19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）请在答题卡对应位置规范答题.

16.
是公比大于
的等比数列,
是
的前
项和.若
,且
,
,
构成等差数列.

（Ⅰ）求
的通项公式.

（Ⅱ）令
，求数列
的前
项和
.

17．在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、
,已知
、
、
成等比数列，且
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
,求
、
的值.

解：（Ⅰ）

、
、
成等比数列,
，
……2分

=
………………………6分

（Ⅱ）

,即
,而
，所以
①，
…………8分

由余弦定理，2=
,
，②…………10分

由①②解得
或
.………12分

18. 已知定义在
上的函数
(其中
).

（Ⅰ）解关于
的不等式
;

（Ⅱ）若不等式
对任意
恒成立,求
的取值范围.

18解：（Ⅰ）
，

而
，
等价于
，于是

当
时，
，原不等式的解集为
；…………2分

当
时，
，原不等式的解集为
；…………4分

当
时，
，原不等式的解集为
…………6分

（Ⅱ）不等式
，即
恒成立…………8分

又当
时，
=
(当且仅当
时取“=”号). …………10分

…………12分

19. 已知直线
:
(
),圆

．

（Ⅰ）求证:直线
与圆
相交；

（Ⅱ）判断直线
被圆
截得的弦何时最短？并求出最短弦的长度;

（Ⅲ）如图，已知AC、BD为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，

求四边形ABCD的面积的最大值.

解：直线
，所以直线
过定点
，
，

在圆
内部，所以直线
与圆
相交。………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直线
过定点M
，当
时，弦长最短. …………4分

=
，

此时，
的方程为
，圆心到直线的距离

所以最短弦长为：
…………7分

分

20.已知数列
中，

（Ⅰ）求数列
的通项
；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
；

（Ⅲ）若存在
，使得
成立，求实数
的最小值.

解：（Ⅰ）
，
①

，
②

①-②：
，
，…………2分

即
（
），又
=2，

时，数列
是以2为首项，3为公比的等比数列.

，故
.…………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当
时，
，

当
时，
；

当
时,
,①

,②

①-②得，

=

=

，又
也满足

.…………9分

21. 已知定点
，
，动点
到定点
距离与到定点
的距离的比值是
.

（Ⅰ）求动点
的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；

（Ⅱ）当
时，记动点
的轨迹为曲线
.

①若
是圆
上任意一点，过
作曲线
的切线，切点是
，求
的取值范围；

②已知
，
是曲线
上不同的两点，对于定点
，有
.试问无论
，
两点的位置怎样，直线
能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由.

解（Ⅰ）设动点
的坐标为
，则由
，得
，

整理得:
.

，

当
时，则方程可化为：
，故方程表示的曲线是线段
的垂直平分线；

当
时，则方程可化为
，即方程表示的曲线是以
为圆心，
为半径的圆. ……………5分

（Ⅱ）当
时，曲线
的方程是
，

故曲线
表示圆，圆心是
，半径是
.

①由
，及
有：

两圆内含，且圆
在圆
内部.如图所示，由
有:
,故求
的取值范围就是求
的取值范围.而
是定点，
是圆上的动点，故过
作圆
的直径，得
，
，故
，
. ……………9分

②解法一：设