2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2007年4月15日）

1、已知集合
，
，则集合B不可能是 （　　）

A、
B、

C、
D、

2、已知
，则
等于 （　　）

A、
B、
C、
D、

3、已知
均为正数,且都不等于1,若实数
满足
,则
的值等于 （　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

4、将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列
，则
等于 （　　）

A、114 B、115 C、116 D、117

5、今有一组实验数据如下：

x

0

1

2

3

4



y

1

5

3

1

2



最能近似地表达这些数据规律的函数模型是 （　　）

A、
B、

C、
D、

6、已知函数
，若方程
无实根，则 （　　）

A、对一切实数
，不等式
都成立

B、对一切实数
，不等式
都成立

C、存在实数
和
，使得不等式
对一切实数
都成立

D、不存在实数
和
，使得不等式
对一切实数
都成立

7、某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （　　）

A、

B、

C、

D、

8、已知点
是
所在平面内的一点，
且
，下列结论错误的是 （　　）

A、点
在
外；

B、

C、点
到
距离的比是

D、
四点共圆；

得分

评卷人









二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。

9、函数
的最小正周期是 ．

10、设
是两个不共线的向量，若向量
与向量
共线且方向相同，则
　　　　　　　　．

11、已知
满足约束条件：
，则
的最大值等于 ．

12、已知函数
，则

（填“
”或“
”）.

13、现有1000个苹果，分别装到10个箱子里，要求可随意拿到任何数目的苹果但不拆箱，是否可行？若行，每个箱子放的苹果数分别是多少？若不行，请说明理由；

答： 　　　　　　　　　　　 ．

14、记
设
，其中
，则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题共3小题，共54分。

得分

评卷人









15、（本题满分16分）已知
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，G为
的重心，且满足
．

（1）证明：
成等差数列；

（2）求函数
的最大值．

得分

评卷人









16、（本题满分18分）已知函数
，

（1）若方程
有正根，求实数
的取值范围；

（2）设
，且
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围．

17、（本题满分20分）已知斐波那契数列
满足：
，
，
，若数列
是等比数列（
为实常数）．

（1）求出所有
的值，并求数列
的通项公式；

（2）求证:

2007年温州市高一数学竞赛参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，共48分）

题号

１

２

３

４

５

６

７

８



答案

B

B

A

C

C

A

D

D



二、填空题（每小题8分，共48分）

9、
10、
11、
12、＜

13、行，各个箱子放的苹果数依次为
　 14、

三、解答题（共5４分）

15、（1）证明：由已知得

---------------------------------------------------------7分；

即
成等差数列； -------------------------8分；

（2）、由（1）得
，

，----------------------------------------------------------------------12分；

的最大值为
．-----------------------------------------------16分。

16、解：（1）方程
有正根
方程
有正根．-----------2分

①当
，即
或
时，经检验
符合题意．------------------- 4分

②当
，即
或
时，设方程
的两个根为
、
，

时，使得
成立，所以
符合题意

时，使得
　成立，所以
符合题意．

综上，
或
-------------------------------------------------- 9分

（2）

①当
即
时，
在区间
上是减函数，又已知
在区间
上是减函数，
即
，
--------------------------------------------------12分

②当
即
时，设方程
的两根为
且
，此时

在区间
或区间
上是减函数，若

，则
得

-------------------------------------------------15分

若

，则

此时
不存在

综上，
--------------------------------------------------18分

17、（1）解：设
则

又因为

　解得
- --------------------------------3分；

两式相减得，
----------------------------------------8分；

（2）证： 显然
，
，
为递增数列．

，即
------------------------------------------12分；

------------------------------------------16分；

--------------------------------------------------20分；