2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2008年4月13日）

本卷满分为150分，考试时间为120分钟

题号

一

二

三

总分









15

16

17





得分















一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

得分

评卷人



答案























1．已知集合
，集合
，映射
表示把集合
中的元素
映射到集合
中仍为
，则以
为坐标的点组成的集合
有元素（ ）个

A．2 B．4 C．6 D．8

2．设
为△
的边
的中点，
为△
内一点，且满足,
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3．在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知当
时，函数
取最大值，则函数
图象的一条对称轴为 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知
是函数
的一个零点，
是函数

的一个零点，则
的值为 （ ）

A．1 B．2008 C．
D．4016

6．函数
的定义域为D，若满足①
在D内是单调函数，②存在
使
在
上的值域为
，那么就称
为“好函数”。现有

是“好函数”，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．如图，一个棱长为
的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余

（ ）

A．
B．
C．
D．

8．使
为完全平方数的正整数
有 （ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个

二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。

得分

评卷人









9．已知向量
满足
，若
，则
__________.

10．若数列
中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则

项数
的最大值为 .

11．如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的

多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,

CC1=3.则这个多面体的体积为 .

12．把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成

两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆

的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为

平方米

13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个子数列中，由1开始的第2008个数是 .

14．设
，则函数
的最小值为__________.

三、解答题：本大题共3小题，共54分。

得分

评卷人









15．（本小题16分）已知函数
.

（1）求函数
单调递增区间；

（2）若
，不等式
的解集为B，
，求实数
的取值范围。

16．(本小题满分18分) 设
,若
,
,
.

得分

评卷人









（1）求证：方程
在区间（0，1）内有两个不等的实数根；

（2）若
都为正整数，求
的最小值。

17．（本小题20分）在
平面上有一系列点
…，
．对每个正整数
,以点
为圆心的⊙
与
轴及射线
都相切，且⊙
与⊙
彼此外切．若
,且
（
）．

（1）求证：数列
是等比数列，并求数列

的通项公式；

（2）设数列
的各项为正，且满足

，

得分

评卷人









求证：

（3）当
时，求证：

2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（解答）

本卷满分为150分，考试时间为120分钟

题号

一

二

三

总分









15

16

17





得分















一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

得分

评卷人



答案























1．已知集合
，集合
，映射
表示把集合
中的元素
映射到集合
中仍为
，则以
为坐标的点组成的集合
有元素（ C ）个

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】显然
，∴
有6组解，
有6个元素，选C。

2．设
为△
的边
的中点，
为△
内一点，且满足,
，则
（ C ）

A.
B.
C.
D.

【分析】如图
∴

四边形DPEB为平行四边形，
，选C。

3．在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得
，则
（ B ）

A．
B．
C．
D．

【分析】如图延长OB到D，使得BD=OB，则四边形OADC为平行四边形

∴
，又
，则
，

，选B。

4．已知当
时，函数
取最大值，则函数
图象的一条对称轴为 （ A ）

A．
B．
C．
D．

【分析】∵当
时，函数
取最大值，∴

解得：
，∴
，∴
是它的一条对称轴，选A。

5．已知
是函数
的一个零点，
是函数

的一个零点，则
的值为 （ B ）

A．1 B．2008 C．
D．4016

【分析】如图：
是曲线
与曲线
交点A的横

坐标，
是曲线
与曲线
交点B的横坐标，

∵函数
与
互为反函数，∴A与B关于直线y=x对称

即
为点A的纵坐标，∴
，选B

6．函数
的定义域为D，若满足①
在D内是单调函数，②存在
使
在
上的值域为
，那么就称
为“好函数”。现有

是“好函数”，则
的取值范围是 （ C ）

A．
B．
C．
D．

【分析】因为函数
在其定义域内为增函数，则若函数
为“好函数”，方程
必有两个不同实数根，∵

，∴方程
有两个不同的正数根，
选C。

7．如图，一个棱长为
的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余

（ D ）

A．
B．
C．
D．

【分析】大球的半径为
，设小球的半径
，则

设小球切截面CDE于F，则

设
，利用等积法求得
，所以

选D。

8．使
为完全平方数的正整数
有 （ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个

【分析】若
，当
时，
分别为36，64是完全平方数；

若
，设
，
，若它是平方数，则令：

，即：
，左边一定为偶数，而右边则是奇数，所以方程
无正整数解，选A。

二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。

得分

评卷人









9．已知向量
满足
，若
，则

.

【分析】∵
∴
且

，∴

10．若数列
中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则

项数
的最大值为 5 .

【分析】由
，

同理由

所以这个数列最多只能有5项，否则由

，则得

与题设矛盾。

11．如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的

多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,

CC1=3.则这个多面体的体积为 48 .

【分析】从三视图看，顶点