嘉祥一中2012—2013学年高一下学期期末考试

数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知点P（
）在第三象限，则角
在 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 　 C．第三象限 　 D．第四象限

2．已知各项均为正数的等比数列{
}，
·
=16，则
·
·
的值（ ）

A．16 B．32 C．48 D．64

3．已知集合M＝{x∈R|3x＋2>0}，N＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则M∩N＝ (　 　)

A．(－∞，－1) B．
C．
D．(3，＋∞)

4．已知等差数列
中，
，则数列
的前11项和
等于（ ）

A . 22 B． 33 C . 44 D．55

5.
（ ）

A. －
B. －
C.
D.

6. 直线l：y=kx－3k与圆C：x
+y
－4x=0的位置关系是（ ）

A. l与C相交 B. l与C相切 C. l与C相离 D. 以上三个选项均有可能

7. 已知等比数列{a
}的公比为正数，且a
·a
=2a
，a
=1，则a
=（ ）

A.
B.
C.
D. 2

8．下列命题中正确的是 ( )

A．当
B．当
，

C．当
，
的最小值为
D．当
无最大值

９．已知实数
满足
，若目标函数
的最小值的取值范围是（ ）
，则实数
的取值范围是（ 　）

A．
B．
　　　　 C．
D．

10．已知正四棱柱
中,
为
的中点,则点
到平面
的距离　　（　　）

A．2 B．
C．
D．1

11．若圆
上至少有三个点到直线
：
的距离等于
，则直线
的斜率的取值范围是（　）

A．[0,2-
] B．(-
,2-
]
[2+
,+
) C．[0,2+
]D． [2-
,2+
]

12．已知球的直径
是该球球面上的两点，
，且

，则三棱锥
—
的体积为（　　）

Ａ．１　　　　Ｂ．
　　　　　Ｃ．
　　　　　Ｄ．

二、填空题（本大题共4道题，每小题5分，共20分）

13．已知等比数列
的公比为正数，且
=
，4
·
=
，则
=

14. 过点(－1，6)与圆x
+y
+6x－4y+9=0相切的直线方程是________．

15. 等比数列｛a
}中，a
+a
=5，a
+a
=4，则a
+a
=________．

16. 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．

三、解答题（本大题共6道题，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．共70分）

17．(本小题满分10分)

等比数列
中，已知

(1) 求数列
的通项
；

(2)若等差数列

，
，
，求数列

前n项和
，并求
最大值和相应的n值．

18. (本小题满分12分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足
．

(1)求角C的大小；

(2)求
的最大值，并求取得最大值时角A的大小．

19．(本小题满分12分)

若函数
的最大值为1.

（1）求常数
的值；

（2）求使
成立的
的取值集合.

20．(本小题满分12分)围建一个面积为
的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙，（利用的旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为
的进出口，如图所示。已知旧墙的维修费用为
元
，新墙的造价为
元
，设利用的旧墙的长度为
,修建此矩形场地围墙的总费用为
元。

（1）将
表示为
的函数；

（2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．

21．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.

( 1 ) 求证：BB1⊥平面ABC；

( 2 ) 求二面角C－DA1－C1的余弦值．

22．(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为
，在
轴上截得线段长为
．（１）求圆心P的轨迹方程;

（２）若P点到直线y=x的距离为
，①求圆P的方程；

②若圆心P的纵坐标大于零，点M是直线
：
上的动点，MA,MB分别是圆P的两条切线，A,B是切点，求四边形MAPB面积的最小值．

参考答案：

1-5 BDDCC 6-10 ABBCD 11-12 DB

13.1 14. 3x－4y+27=0或x=－1. 15.
16.

17.解：(1）由
，得q=2,解得
，从而

（2）由已知得
解得d=-2

由于

所以
或
时，
有最大值72

18.解：(1)由正弦定理得
．

因为0

所以sinA>0. 从而sinC=cosC.

又cosC≠0，所以tanC=1，则
．

(2)由(Ⅰ)知B=
－A. 于是

=

=

=

因为0

所以当
，即A=
时，

取最大值2.

综上所述，
的最大值为2，此时A=
．

19.解：（1）

所以
，得

（2）由（1）得
，

因为
，所以
，

所以
，

即
，所以满足的的取值集合为

20.解 (1)设矩形的另一边长为
m，则
，由已知得
，得
.所以
.

(2)
.当且仅当
时，等号成立.即当
，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

21.(1)证明：∵AC＝BC，D为AB的中点，

∴CD⊥AB，又CD⊥DA1，AB∩A1D＝D，

∴CD⊥平面AA1B1B，∴CD⊥BB1，

又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC.

以C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立

空间直角坐标系(如图所示)，

则C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,0,2)，C1(0,2,0)，A1(0,2,2)，D(1,0,1)．

设n1＝(x1，y1，z1)是平面DCA1的法向量，

则有，即，∴，故可取n1＝(1,1，－1)．

同理设n2＝(x2，y2，z2)是平面DC1A1的法向量，且＝(1，－2,1)，＝(0,0,2)．

则有，即，∴.故可取n2＝(2,1,0)．

∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，

又二面角C－DA1－C1的平面角为锐角，所以其余弦值为.

（1）设P（x，y）有已知得：

①因为P（x，y）到x-y=0的距离
，所以

所以
，则

所以

②因为纵坐标大于零，则P(0，1)

因为
，若
最小，则
为

P(0，1) 到直线x+y-5=0距离为
，

所以
。