江苏无锡一中

2013—2014学年度上学期期中考试

高一数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案直接填写在答题卡的相应位置）

1．设集合
,
，则
．

2．计算：
的值为 ．

3．函数
的定义域为 ．

4．已知函数
满足
，则
．

5．如右图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．

6．幂函数
（只需填正确的序号）．

①是奇函数但不是偶函数； ②是偶函数但不是奇函数；

③既是奇函数又是偶函数； ④既不是奇函数又不是偶函数．

7．如右图所示，有一个飞轮，它的直径为
米，如果轮周上一点以
转
分的速度绕
作逆时针旋转，则点在秒内所经过的路程为 米．

8．设
，将
这三个数按从小到大的顺序排列

（用“”连接）．

9．函数
的单调增区间是 ．

10．2012年11月，胡锦涛同志在“十八大”上指出，要确保实现“到2020年我国国内生产总值比2010年翻一番”的目标，那么我国的国内生产总值在这十年中平均每年的增长率至少要达到

（结果保留一位有效数字）．

参考数据：

11．已知为非零常数，函数
满足
，则
．

12．如果函数
的零点个数为
，则
的解析式为 ．

13．已知函数
，则满足不等式
的实数的取值范围为 ．

14．如图，过原点
的直线与函数
的图象交于
两点，过作轴的垂线交函数
的图象于点
，若
恰好平行于轴，则点的坐标为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分，请将正确解答书写在答题卡的相应位置，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

已知集合
，
，
．

（1）请用列举法表示集合；（2）求
，并写出集合
的所有子集．

16．（本题满分14分）

已知函数
．

（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数
的图像；

（2）根据函数
的图像回答下列问题：

① 求函数
的单调区间；

② 求函数
的值域；

③ 求关于的方程
在区间
上解的个数．

（回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）

17．（本小题满分15分）

设全集为
，集合
，
．

（1）求如图阴影部分表示的集合；

（2）已知
，若
，求实数的取

值范围．

18．（本小题满分15分）

已知函数
是
上的奇函数，且
．

（1）求实数
的值；

（2）判断并证明函数
在
上单调性；

（3）解关于的不等式
．

19．（本小题满分16分）

某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约
吨工业废气，这将造成极大的环境污染．为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．

经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本（元）与废气处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为：
，且每处理吨工业废气可得价值为
元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理．

（1）若该制药厂每天废气处理量计划定为
吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？

（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求的取值范围；

（3）若该制药厂每天废气处理量计划定为
吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求的值．

20．（本小题满分16分）

已知函数
，
．

（1）若设
，求出的取值范围（只需直接写出结果，不需论证过程）；

并把
表示为的函数
；

（2）求
的最小值；

（3）关于的方程
有解，求实数的取值范围．

2013年-2014年度第一学期无锡市第一中学期中试卷

高一数学成志班附加卷

一、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，请将正确答案直接填写在答题卡的相应位置）

1．（本小题满分5分）已知集合
且
，则实数a的取值集合是 ▲ ．

2．（本小题满分5分）某同学为研究函数
的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形
和
，点是边
上的一个动点． 请你参考这些信息，推知函数
的零点有 ▲ 个．

二、解答题（本大题共1小题，共10分，请将正确解答书写在答题卡的相应位置，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

3．（本小题满分10分）某校高一年级数学兴趣小组的同学经过研究，证明了以下两个结论是完全正确的：① 若函数
的图像关于点
成中心对称图形，则函数
是奇函数；② 若函数
是奇函数，则函数
的图像关于点
成中心对称图形．请你利用他们的研究成果完成下列问题：

（1）将函数
的图像向右平移2个单位，再向下平移16个单位，求此时图像对应的函数解释式，并利用已知条件中的结论求函数
图像对称中心的坐标；

（2）求函数
图像对称中心的坐标，并说明理由．

参考答案

一 填空题

1．
2．
3．
4． 5．

6．② 7．
8．
9．
10．7

11．1 12．
13．
14．

二 解答题

15．（1）
， ………………………………………………5分

（2）集合中元素
且
，

所以
………………………………………………10分

集合
的所有子集为：
，
，
，
……14分

16．（1）作图要规范：每条线上必须标明至少两个点的坐标，不在坐标轴上的点要用虚线标明对应的坐标值（教科书第28页例题的要求）（有一条直线没有标明点的坐标扣1分，两条都没标扣2分） …5分

（2）①函数
的单调递增区间为
；……7分

函数
的单调递减区间为
；……9分

②函数
的值域为
…………11分

③方程
在区间
上解的个数为1个 …………14分

17．解：（1）

…………………………3分

………………………………6分

阴影部分为
…………………………8分

（2） ①
，即
时，
，成立； ………………………10分

②
，即
时，

得
………………………14分

综上所述，的取值范围为
． ………………………15分

18．解：（1）由
为奇函数，所以
，得
， …………………2分

此时
满足
适合题意，所以
可取 …3分

，得
得
……………6分

（2）任取
，

因为
，所以
,得
，

即
，所以
在
单调递增； …………11分

（3）因为

又
是
上的奇函数，故
， …………13分

因为
在
单调递增，所以
，解得

故关于的不等式的解集为
． …………15分

19．解：（1）由题意可知当该制药厂每天废气处理量计划为
吨时，

每天利用设备处理废气的综合成本为
元，………2分

转化的某种化工产品可得利润
元， ………3分

所以工厂每天需要投入废气处理资金为
元． ………4分

（2）由题意可知，

当
时，令
解得
………7分

当
时，令
即

此时
，所以此时无解

综上所述，当该制药厂每天废气处理量计划为
吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量． ………………………………10分

（3）市政府为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金

当
时，不等式
恒成立，

即
对任意
恒成立， ………………13分

令
，则

答：市政府只要为处理每吨废气补贴
元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金． ……………………………16分

20．（1）

令
, ∴
……………2分

表示为的函数
……………5分

（2）
，

当
时，

当
时，

当
时，
，

∴
………………………………………11分

（3）方程
有解，即方程
在
上有解，而

∴
， ………………………………………………………12分

可由单调性定义证明
在
上单调递减，
上单调递增…13分

， ………………………………14分

又
为奇函数，∴当
时
…………………15分

∴的取值范围是
． ………………………………16分

2013年-2014年度第一学期无锡市第一中学期中试卷

高一数学成志班附加卷参考答案

1．

2．2个

3．解：（1）函数
的图像向右平移2个单位，再向下平移16个单位，

所得函数
，化简得
为奇函数，

即
为奇函数，

故函数
图像对称中心的坐标为
………….…………4分

（2）设
是奇函数，

则
，

即
，即
，

得
，得
，

即
.

由的任意性，得
，解得
.

所以函数
图像对称中心的坐标为
.………….…………10分

（没有利用已知条件得到函数
图像对称中心的坐标的只得2分）