命题、校对：杨龙春 制卷：姚文清

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，若
,则
（ ）

A．0或
B．0或3 C．1或
D．1或3

2．已知直线
，直线在内，则
的关系为（ ）

A 平行 B 相交 C 相交或异面 D 平行或异面

3．在同一坐标系中，函数
与
的图像之间的关系是（ ）

A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于轴对称 D．关于直线
对称

4．函数
的零点所在的大致区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知
，
，
，那么，，的大小关系是（ ）

A．
B．
C.
D．

6．如图，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ ）

A 平行 B 垂直相交 C 异面垂直 D 相交但不垂直

7．已知幂函数
的图像不经过原点，则=（ ）

A．3 B．1或2 C．2 D．1

8．已知某个几何体的三视图如右侧，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体

的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．如果一个函数
满足：

（1）定义域为
；

（2）任意
，若
，则
；

（3）任意
，若
，总有
．则
可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设m、n是两条不同的直线,
是三个不同的平面,给出下列四个命题：

①若
，则
；

②若
，则
；

③若
，则
；

④若
，则
；其中所有正确命题的序号是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①② D．②③

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分

11. 一球的表面积与它的体积的数量相等，则球的半径为_____________

12．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是
，那么圆柱的体积等于 ．

13．已知
，则
．

14．一个正三棱锥的底面边长为
，高为4 ，则这个正三棱锥的侧面积是

15．已知关于的方程
在区间
上有实数根，那么
的取值范围是 .

三.解答题:本大题共6个小题,满分75分。解答必须写出文字说明, 证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）设集合A=
， B=
，全集

（1）求集合
；(?U)

（2）若集合为函数
的定义域，求函数
的值域。

17.（本小题满分12分）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形，如果圆柱的体积是
，底面直径与母线长相等。

(1) 求正三角形
边长；

（2）三棱柱的体积V是多少？

18．（本小题满分12分）一个底面半径为，高为的圆锥，其内接一长方体（底面在圆锥底面上，其他四个顶点在圆锥的母线上），如图是其图形及其一个轴截面图，若
，长方体底面一边长为。

(1) 求内接长方体的高；

（2）当为何值时内接长方体体积有最大值，并求出最大值。

19.（本小题满分12分）如图，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC=a, F，G分别是EB和AB的中点。

(1) 求三棱锥
的体积V；

（2）求证：
平面
；

（3）求证：
//平面
。

20.（本小题满分13分）一片森林原来面积为，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少
,10年后森林面积变为
，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的
，已知到今年为止，森林面积为
.（
）

（1）求的值；

（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

（3）今后最多还能砍伐多少年？

21.（本小题满分14分）已知函数

（1）求函数
的定义域；

（2）求函数
的零点；

（2）若函数
的最小值为
，求的值.

宁强天津高级中学高一年级第二次月考试题 数学参考答案

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

B

D

D

B

A

C

D

B

B

A



二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.
12.
13.
14.
15. [0,2]

三.解答题:本大题共6个小题,满分75分。解答必须写出文字说明, 证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）设集合A=
， B=
，全集

（1）求集合
；(?U)

（2）若集合为函数
的定义域，求函数
的值域。

16、解（1）
，…………………………………… 2分

B=
，

∴

，………………. 4分

?U

(?U)

……. 8分

（2）因为
是增函数，又集合为函数
的定义域，

所以当
时
有最小值
，当
时
有最大值

故函数
的值域为
。……………………………… 12分

17.（本小题满分12分）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形，如果圆柱的体积是
，底面直径与母线长相等。

(1) 求正三角形
边长；

（2）三棱柱的体积V是多少？

17.解：(1)设圆柱的底面半径为，

则由已知得圆柱的母线长及三棱柱的高为
。………………… 2分

由
,得
,则三棱柱的高为。………………… 4分

∵三棱柱的底面是正三角形，其外接圆半径为

∴边长
,………………… 8分

（2）∵

∴三棱柱的体积
………………… 12分

18．（本小题满分12分）一个底面半径为，高为的圆锥，其内接一长方体（底面在圆锥底面上，其他四个顶点在圆锥的母线上），如图是其图形及其一个轴截面图，若
，长方体底面一边长为。

(1) 求内接长方体的高；

（2）当为何值时内接长方体体积有最大值，并求出最大值。

18、解：(1) ∵圆锥的底面半径为，高为，且

∴由相似性得
，解得长方体的高
……… 5分

（2）∵长方体底面一边长为,　
，则另一边为
，……… 7分

∴长方体底面面积
，
………………… 8分

由已知棱柱的高为，

∴长方体体积
………… 10分

则当
即
时，长方体体积有最大值………………… 12分

19.（本小题满分12分）如图，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC=a, F，G分别是EB和AB的中点。

(1) 求三棱锥
的体积V；

（2）求证：
平面
；

（3）求证：
//平面
。

19．解：

(1) ∵
是边长为
的正三角形，

∴
，又DC垂直于平面ABC且DC=a,

∴V=

。 ………………4分

20.（本小题满分13分）一片森林原来面积为，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少
,10年后森林面积变为
，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的
，已知到今年为止，森林面积为
.（
）

（1）求的值；

（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

（3）今后最多还能砍伐多少年？

20、解：（1）由题意得：
，即
，

由
，得：


即

∴
………………4分

（2）设经过年森林面积为
，则

，由
，得
，
，解得

故到今年为止，已砍伐了5年. ………………8分

（3）设从今年开始，以后砍了年，则年后森林面积为

令
≥
，即
≥
，

∵

∴
≥
，即
≤
，解得≤
………………13分

故今后最多还能砍伐15年.

21.（本小题满分14分）已知函数

（I）求函数
的定义域；

（II）求函数
的零点；

（Ⅲ）若函数f(x)的最小值为
，求的值.