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吉林省实验中学 2013—2014学年度上学期模块三 高一数学试题 命题人：王 峰 审题人：李景秋 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．的值为（ ） A． B． C． D． 2．已知全集，，， ，则（ ） A． B． C． D． 3．函数(，且)的图象必经过点 ( ) A． (0，1) B． (1，1) C． (2，1) D． (2，2) 4．已知，为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( ) A．与相等 B．·＝1 C．2＝2 D．如果与平行，那么与相等 5．方程的解的个数是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 6．已知x＝lnπ，y＝log52，，则 （ ） A. x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π.为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．已知向量a=，向量b=，则|2a－b|的最大值是（ ） A．4 B．－4 C．2 D．－2 9．函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 10．将y＝f（x）·cosx的图像向右平移个单位后，再关于x轴对称而得到y＝1－2sin2x 的图像，则f（x）是 （ ） A．cosx B．2cosx C．sinx D．2sinx 11．已知非零向量与满足（＋）·＝0且·＝， 则△ABC为 （ ） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形 12．已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（ ） A．偶函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点对称 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，，，若∥，则= ； 14．非零向量和满足，则与的夹角为 ； 15．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°的值是 ； 16．给出下列五个命题： ①函数y＝tanx的图象关于点（kπ＋，0）（k∈Z）对称； ②函数f (x)＝sin|x|是最小正周期为π的周期函数； ③函数y＝cos2x＋sinx的最小值为－1； ④设θ为第二象限的角，则tan＞cos，且sin＞cos； ⑤若． 其中正确的命题序号是________________________．； 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题共6小题，共70分。 17．（本小题满分10分） 已知点A(－3，－4)、B（5，－12） (1)求的坐标及｜｜； (2)若＝＋，＝－，求及的坐标； (3)求· 18．（本小题满分12分） 已知，，， 求sin2(的值 19．（本小题满分12分） 已知函数y＝4cos2x－4sinxcosx－1（x∈R）． （1）求出函数的最小正周期； （2）求出函数的最大值及其相对应的x值； （3）求出函数的单调增区间； （4）求出函数的对称轴。 20．（本小题满分12分） 设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值；（3）若，求证：∥. 21．（本小题满分12分） 已知函数，． （I）设是函数图象的一条对称轴，求的值． （II）求函数的单调递增区间． 22．（本小题满分12分） 设a为实数，设函数的最大值为g(a)。 （Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)； （Ⅱ）求g(a)； （Ⅲ）试求满足的所有实数a。 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C D D A A A D A D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13．5 14． 15． 16．①③⑤ 三、解答题（本大题共6小题，共计74分） 17．（本小题满分10分） (1) ＝（8，－8），｜｜＝8 …………………………4分 (2) ＝（2，－16），＝（－8，8）…………………………8分 (3) ·＝33 …………………………10分 18．（本小题满分12分） 解：∵ ∴ …………………………3分 ∴ …………………………5分 ∴ …………………………7分 又 ∴ …………………………9分 ∴sin2(=
= …………………………12分 19．（本小题满分12分） 解： 20．（本小题满分12分） 解：y＝4cos2x－4sinxcosx－1＝4×－4sinxcosx－1 ……………1分 ＝2cos2x－2sin2x＋1＝4（cos2x－sin2x）＋1 ………………2分 ＝4cos（2x＋）＋1 ………………4分 （1）T＝ ………………6分 （2）当cos（2x＋）＝1时，y最大值＝5，此时2x＋＝2kπ，x＝kπ－（k∈Z） ………………8分 （3）令－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，得－＋kπ≤x≤－＋kπ， ………………9分 ∴函数的单调递增区间是[－＋kπ，－＋kπ]（k∈Z） ………………10分 （4）令2x＋＝kπ，得x＝－ ………………11分 ∴对称轴方程为x＝－（k∈Z） ………………12分 21、解：（I）由题设知． 因为是函数图象的一条对称轴，所以， 即（）． 所以． ………………4分 当为偶数时，，………………5分 当为奇数时，． ………………6分 （II） ．……………………………………………9分 当，即（）时， 函数是增函数，………………………………11分 故函数的单调递增区间是（）．………………12分 22、解析：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。 （Ⅰ）令 要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1, ∴t≥0 ① t的取值范围是由①得 ∴m(t)=a()+t=………………………………3分 （Ⅱ）由题意知g(a)即为函数的最大值。 注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。 （1）当a>0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段， 由<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2 (2)当a=0时，m(t)=t, ,∴g(a)=2. (3)当a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段， 若，即则 若，即则 若，即则 综上有 ………………………………6分 (III)解法一： 情形1：当时，此时， 由，与a<-2矛盾。 情形2：当时，此时， 解得， 与矛盾。 情形3：当时，此时 所以 情形4：当时，，此时， 矛盾。 情形5：当时，，此时g(a)=a+2, 由解得矛盾。 情形6：当a>0时，，此时g(a)=a+2, 由，由a>0得a=1. 综上知，满足的所有实数a为或a=1………………12分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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