时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨庆芝 审题人：孙守宦

一、选择题、(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) ．

1.如果
，那么角
的终边所在的象限是( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 已知角是第二象限角，角的终边经过点
，且
，则
( )

A．
B．
C．
D．

3. 下列函数中,既是偶函数又在区间
上单调递增的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4、以下四个数中与 sin 2011°的值最接近的是（ ）

A、－ B、 C、－  D、

5．
是
,


的平均数,是
,
,
,
的平均数,
是
,
,

的平均数，则下列各式正确的是 （　　）

A．
B．
C．
D．

6．某路段的雷达测速区检测点，对过往汽车的车速进行检测所得结果进行抽样分析，并绘制如图所示的时速（单位
）频率分布直方图，若在某一时间内有200辆汽车通过该检测点，请你根据直方图的数据估计在这200辆汽车中时速超过65
的约有（ ）

A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆

7．记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程
有两个不同实根的概率为（　　）

A．
B．
C．
D．

8、若函数
的零点与
的零点之差的绝对值不超过0.25，则
可以是( )

A.
B.

C.
D.

9．执行如图的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s属于(　　)

A．[－3,4] B．[－5,2]

C．[－4,3] D．[－2,5]

10. 设
，
，
，则有（ ）

A．
B．

C．
D．

11.设函数
的定义域为

,值域为
,若
的最小值为
,则实数a的值为（　　）

A．
B．
或
C．
D．
或

12．设定义在区间
上的函数
是奇函数（
），则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）

13．满足
的
的集合是__________。

14．已知角α（0≤α＜2π）的终边过点
，则α= 。　　

15．一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面内爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 ；

16．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]的图象如下图所示：则方程f[g(x)]＝0有且仅有______个根，方程f[f(x)]＝0有且仅有_______个根．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

17．(本小题满分10分)

（1）已知
，
，求
；

（2）已知
，求
．

18．(本小题满分12分)研究性学习小组为了解某生活小区居民用水量（吨）与气温（℃）之间的关系，随机统计并制作了5天该小区居民用水量与当天气温的对应表：

日期

9月5日

10月3日

10月8日

11月16日

12月21日



气温（℃）

18

15

11

9

-3



用水量（吨）

57

46

36

37

24



（Ⅰ）若从这随机统计的5天中任取2天，求这2天中有且只有1天用水量低于40吨的概率，并列出所有的基本事件；

（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程
中的
，试求出
的值，并预测当地气温为5℃时，该生活小区的用水量.

19、(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；

（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

20、(本小题满分12分) 在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.

（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中有放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；

（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.

21、(本小题满分12分) 已知函数
为奇函数.

（Ⅰ）若
，求函数
的解析式；

（Ⅱ）当
时，讨论函数
在
上的单调性，并证明。

22、（本小题满分12分，第（1）小问3分，第（2）小问4分，第（3）小问5分）已知函数
，且
．

(1)求证：函数
有两个不同的零点；

(2)设
是函数
的两个不同的零点，求
的取值范围；

(3)求证：函数
在区间（0,2）内至少有一个零点．

高一数学期末考试答案2014.2

17、解：（1）∵sinα+cosα=
． ∴（sinα+cosα）2=
． 2sinαcosα=
．

∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=
．

又∵
且2sinαcosα=
．∴
＜α＜π， ∴sinα﹣cosα=
．

18、解：（Ⅰ）设在抽样的5天中用水量低于40吨的三天为
，用水量不低于40吨的两天为
，那么5天任取2天的基本事件是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共计10个.…………3分

设“从5天中任取2天，有且只有1天用水量低于40吨”为事件，包括的基本事件为
，
，
，
，
，
共6个，……5分

则
.

∴从5天中任取2天，有且只有1天用水量低于40吨的概率为
.………………6分

∵线性回归直线过点
，且
，

∴把点
代入直线方程，得
，…………………………………………10分

∴

又
时，

∴可预测当地气温为5℃时，居民生活用水量为33吨.……………………………12分

19、（12分） 解：（1）a=0.03 ------------- 3

（2）
---------------6

(3)：成绩在
分数段内的人数为
人，分别记为，．……7分

成绩在
分数段内的人数为
人，分别记为
，，，．……8分

若从数学成绩在
与
两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共15种．…………10分

如果两名学生的数学成绩都在
分数段内或都在
分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在
分数段内，另一个成绩在
分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件
，则事件
包含的基本事件有：

，
，
，
，
，
，
共7种．……11分

所以所求概率为
．…………………………………12分

20、解：（1）从袋中10个球中摸出2个，试验的结果共有
（种）……………（1分）

中奖的情况分为两种：

（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为
；…………………………（3分）

（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为
.…………………………（4分）所以，中奖这个事件包含的基本事件数为36+16=52. 因此,中奖概率为
.………………………（6分）（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟.

用
表示每次试验的结果，则所有可能结果为

；……………………………………………………（7分）

记甲比乙提前到达为事件A，则事件A的可能结果为

. ………………………………………（6分）

如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分. ………………………………………………………（10分）

根据几何概型公式，得到

.

所以，甲比乙提前到达的概率为
. …………（12分）

21、解:（Ⅰ）∵函数
为奇函数，

∴
，即
，

∴
，………………………………………………2分

又
，

∴

∴函数
的解析式为
.………………5分

（Ⅱ）函数
在
单调递减。

证明：
，

设
，

…………………………10分

∵
， ∴

∵
，即
， ∴
，又
，

∴
，即

∴函数
在
单调递减，……………………………12分

22、解：（1）证明：

……1分

对于方程

判别式
……2分

又

恒成立．

故函数
有两个不同的零点． ……3分

（2）由
是函数
的两个不同的零点，

则
是方程
的两个根．

……5分

故
的取值范围是
……7分

函数
在区间（0, 1）内至少有一个零点． ……10分

（ii）当
时，

函数
在区间（1,2）内至少有一个零点． ……11分

综上所述，函数
在区间（0,2）内至少有一个零点． ……12分