宁波市2013-2014学年高一下学期期末考试

数学试题

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设
、
、
，
，则下列不等式一定成立的是

2.数列
：
、3、
、9、…的一个通项公式是

(
)

(
)

(
)

(
)

3.设

是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题不正确的是

若
，
，则

若
，
∥
，则

若


，
，则
∥

若
∥
,
∥
,则
∥

4.等差数列
的前
项和为
，若
，
，则

12
16

5.在
中，角
所对的边分别为
，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是

，
，


，
，

，
，


，
，

6. 已知数列
满足
，
，则

2

7.当
时，关于
的不等式
的解集是

8.已知函数
的图象的一个对称中心是点
，则函数
＝
的图象的一条对称轴是直线

9.若不等式
对任意的
上恒成立，则
的取值范围是

10.如图，三棱柱
的各棱长均为2，侧棱
与底面
所成的角为
，
为锐角，且侧面
⊥底面
，给出下列四个结论：

①
；

②
；

③直线
与平面
所成的角为
；

④
.

其中正确的结论是

①③
②④
①③④
①②③④

二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.

把答案填在答题卷的相应位置

11.求值：
___________.

12.圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为
，那么它的表面积为___________.

13.将棱长为2的正方体切割后得一几何体，其三视图如图所示，

则该几何体的体积为___________.

14.正数
、
满足
，那么
的最小值等于

___________.

15.已知数列
是首项为3，公差为1的等差数列，数列

是首项为
，公比也为
的等比数列，其中
，那么数

列
的前
项和
________.

16.在
中，角
所对的边分别为
，若
成等差数列，则角

的取值范围是__________(角用弧度表示).

17.在数列
中，
，
，
（
），把数列的各项按如下方法进行分组：(
)、(
)、(
)、……，记
为第
组的第
个数（从前到后），若

=
，则
____________.

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本题满分14分）

(Ⅰ)已知
，
，求
的值；

(Ⅱ)已知
，
，
，求
的值.

19.（本题满分14分）

在
中，
分别是角
所对的边，且
.

(Ⅰ)求角
；

(Ⅱ)若
，求
的周长
的取值范围.

20．（本题满分14分）

某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数
与时刻
（时）的关系为
，
，其中
是与气象有关的参数，且
，用每天
的最大值作为当天的污染指数，记作
.

(Ⅰ)令
，
，求
的取值范围；

(Ⅱ)按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？

21.（本题满分15分）

如图，已知四棱锥
的底面为菱形，

面
，且
，
,
分别是
的中点.

(Ⅰ)求证：
∥平面
；

(Ⅱ)过
作一平面交棱
于点
，若二面角
的大小为
，求
的值.

22.（本题满分15分）

设数列
的首项
，前
项和为
，且
、
、
成等差数列，其中
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)数列
满足：
，记数列
的前
项和为
,求
及数列
的最大项.

命题：宁海中学 陈金伟

审题：象山中学 张美娟、俞建英

宁波市 八校联考高一数学参考答案

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本题满分14分）

因为
，
，所以
，
, ……5分

. ………………………………………………7分

（Ⅱ）因为
且
，所以
， ……………………………9分

因为
，所以
，

又
,所以
，所以
，……11分

所以
.……………………………14分

因为
，所以
，
，

，所以
，即
. ………14分

法2：由余弦定理得，
， …………9分

而
，故
，………………11分

所以
， …………………………………………………………………12分

又
， ……………………………………………………………………13分

所以
，即
. ………………………………14分

20.（本题满分14分）

(Ⅰ)(1)当
时，
；………………………………………………………………1分

在
上单调递减，在
上单调递增，所以
的最大值只可能在
或

21.（本题满分15分）

(Ⅰ)取
的中点
,连结
、
,

因为
是
的中点，所以
∥
,且

，又
是菱形
边

的中点，所以
∥
,且

，

所以
∥
,且

，四边形

是平行四边形，所以
∥
,

……………………………………………5分

而
平面
,
平面
，……………………………………………6分

所以
∥平面
.…………………………………………………………………7分

(Ⅱ)连结
交
于
，连结
，因为

面
，所以


，即

，又


，且
,所以

平面
，…………10分

从而
,
,所以
就是二面角
的平面角，
，………………………………………………………………………12分

设
,因为
，
，所以
,